EXERCÍCIOS SOBRE POLINÔMIOS COM RESPOSTAS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE POLINÔMIOS

Procurando exercícios resolvidos sobre polinômios?

Chegou ao site certo.

Aqui a matemática é abordada de forma simples e objetiva.

Confira uma seleção de questões resolvidas retiradas de vários concursos pelo país.

Bons estudos.

Prova Resolvida Guarda Civil SP – Questão 21. O resto da divisão do polinômio x³ + 3x² – 5x + 1 por x – 2 é:

a) 1

b) 2

c) 10

d) 11

e) 12

Prova Resolvida Guarda Civil SP – Questão 22. Considere o polinômio:

 Sabendo que P(1) = 2, então o valor de P(3) é:

a) 386.

b) 405.

c) 324.

d) 81.

e) 368.

Resolução:

Como P(1) = 2:

P(1)=4.1  + 3.1 – 2.1 + 1 + k =2

4 + 3 – 2 + 1+ k = 2

10 + k = 2

k = 2 – 6

k = – 4

O polinômio será P(x) =  4x^4  + 3x³ + 2x² + x – 4

Calculando P(3):

P(3) =  4x^4  + 3x³ + 2x² + x – 4

P(3) = 4.81 + 3.27 – 2.9 + 3 – 4

P(3) = 324 + 81 – 18 + 3 – 4

P(3) = 386

Prova Resolvida RFB 2009 – Esaf – Questão 39. Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – a) e (x – b) com a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x–a) e (x–b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x – 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x – 1) e (x + 3) é igual a:

a) 13x/4 + 7/4

b) 7x/4 – 13/4

c) 7x/4 + 13/4

d) -13x/4 – 13/4

e) -13x/4 – 7/4

Resolução:

Primeiramente, o resto da divisão de um polinômio P(x) por (x-a) é igual a P(a)

Dividindo o polinômio f pelo polinômio de grau 2, resultado do produto (x-1).(x+3). Observe que o resto deve ter grau 1 ou 0 (se divisão exata).Vamos chamar o resto de ax + b.

Temos::

P(1) = 5 (5 é o resto da divisão de f por x-1)

P(-3) = -2 (-2 é o resto da divisão de f por x+3)

Daí,

a.1 + b = 5

a.(-3) + b = -2

Subtraindo a equação 1 pela equação 2, temos:

4a = 7

a = 7/4

Substituindo “a” na equação 1, temos:

7/4 + b = 5

b = 5 – 7/4

b = 13/4

Concluímos que o resto é ax + b = (7/4).x + 13/4

Exercícios sobre Polinômios com Respostas

Polinômios – Exercícios

Leia o artigo: Polinômios

PUBLICIDADE

01. Calcular o valor numérico do polinômio P(x) = x³ – 7x² + 3x – 4 para x = 2.

02. Determinar os valores reais de a e b para que o polinômio x³ + 6x² + ax + b seja um cubo perfeito.

03. (UESB) Se P(x) = xⁿ – x^n-1 + x^n-2 – … + x² – x + 1 e P(-1) = 19, então n é igual a:

a) 10
b) 12s
c) 14
d) 16
e) 18

04. (UBERL) Se P(x) é um polinômio tal que 2P(x) + x² P(x – 1) ≡ x³ + 2x + 2, então P(1) é igual a:

a) 0
b) -1
c) 1
d) -2
e) 2

05. As soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio x⁴ – 10x³ + 24x²+ 10x – 24 por x² – 6x + 5, são:

a) -1 e 5
b) -1 e -5
c) 1 e -5
d) 1 e 5
e) 0 e 1

06. (UESP) Se o polinômio P(x) = x³ + mx² – 1 é divisível por x² + x – 1, então m é igual a:

a) -3
b) -2
c) -1
d) 1
e) 2

07. (UEL) Dividindo-se o polinômio x⁴ + 2x³ – 2x² – 4x – 21 por x + 3, obtêm-se:

a) x3 – 2×2 + x -12 com resto nulo;
b) x3 – 2×2 + 3 com resto 16;
c) x3 – x2 -13x + 35 e resto 84;
d) x3 – x2 – 3x + 1com resto 2;
e) x3 – x2 + x -7 e resto nulo;

08. (UEL) Se o resto da divisão do polinômio p = x⁴ – 4x³ – kx – 75 por (x – 5) é 10, o valor de k é:

a) -5
b) -4
c) 5
d) 6
e) 8

09. Sejam m e n determinados de tal modo que o polinômio x⁴ – 12x³ + 47x² + mx + n seja divisível por
x² – 7x + 6. Então m + n é igual a:

a) 72
b) 0
c) -36
d) 36
e) 58

10. Para que o polinômio 2x⁴ – x³ + mx² – nx + 2 seja divisível por x² – x – 2, devemos ter:

a) m = 1 e n = 6
b) m = -6 e n = -1
c) m = 6 e n = 1
d) m = -6 e n = 1
e) m = 6 e n = -1

Respostas:

01. P(2) = -18

02. a = 12 e b = 8

03. E	04. E	05. A	06. E
07. E	08. E	09. C	10. D

Exercícios sobre Números Complexos com respostas

lista de exercícios

1 - Calcule o número complexo i¹²⁶ + i^-126 + i³¹ - i¹⁸⁰

2 - Sendo z = 5i + 3i² - 2i³ + 4i²⁷ e w = 2i¹² - 3i¹⁵, calcule Im(z).w + Im(w).z . 

3 - UCMG - O número complexo 2.O, tal que 5z + Ō = 12 + 6i é: 

4 - UCSal - Para que o produto (a + i). (3 - 2i) seja real, a deve ser: 

5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é: 

6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i² + i³ + ... + i¹⁰⁰¹ é: 

7 - Determine o número natural n tal que (2i)ⁿ + (1 + i)²ⁿ + 16i = 0.   Resp: 3

8 - Calcule [(1 + i)⁸⁰ + (1 + i)⁸²] : i⁹⁶.2⁴⁰.   Resp: 1 + 2i

9 - Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi , sabendo-se que z + w é um número real e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b² - 2a.   Resp: 50

10 - Se o número complexo z = 1 - i é uma das raízes da equação x¹⁰ + a = 0 , então calcule o valor de a.  Resp: 32i

11 - Determine o número complexo z tal que i.O + 2.Ō + 1 - i = 0. 

12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x^-1 + x², para x = 1 - i, é:
a) -3i       b) 1 - i       c) 5/2 + (5/2)i       d) 5/2 - (3/2)i       e) 1/2 - (3/2)i 

13 - UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i⁷ + i⁵ + ( i³ + 2i⁴ )² , obtêm-se:
a) -1 + 2i       b) 1 + 2i       c) 1 - 2i       d) 3 - 4i       e) 3 + 4i 

14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10       b) 5 e 10       c) 7 e 9       d) 5 e 9       e) 0 e -9 

15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö13      b) 7       c) 13       d) 7       e) 5 

16 - FESP/UPE - Seja z = 1 + i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z⁸ é igual a:
a) 16       b) 161       c) 32       d) 32i       e) 32 + 16i 

17 - UCSal - Sabendo que (1 + i)²² = 2i, então o valor da expressão
y = (1 + i)⁴⁸ - (1 + i)⁴⁹ é:
a) 1 + i       b) -1 + i       c) 2²⁴ . i       d) 2⁴⁸ . i       e) -2²⁴ . i

Resposta:
1) -3 - i 
2) -3 + 18i 
3) 4 + 3i 
4) 3/2 
5) -2 + 18i 
6) i 
7) 3 
8) 1 + 2i 
9) 50 
10) 32i 
11) -1 - i 
12) B 
13) D 
14) A 
15) A 
16) A 
17) E Fonte: Outros exercícios: http://www.pucrs.br/famat/augusto/calculo_avancado_A/exerc1.pdf

LISTA DE EXERCÍCIOS – OPERAÇÕES COM COMPLEXOS

LISTA DE EXERCÍCIOS – OPERAÇÕES COM COMPLEXOS

1.  Calcule as seguintes somas:

             a) (2 + 5i) + (3 + 4i)                                                         b) i + (2 - 5i)

2.  Calcule as diferenças:

        a) (2 + 5i) - (3 + 4i)                                                          b) (1 + i) - (1 - i)

3.  Calcule os seguintes produtos:

        a) (2 + 3i) (3 - 2i)                                                             b) (1 + 3i) (1 + i)

4.  Escreva os simétricos dos seguintes números complexos:

        a) 3 + 4i         b) -3 + i                         c) 1 - i                              d)  -2 + 5i

5.  Escreva os conjugados dos seguintes números complexos:

        a) 3 + 4i                                                                                              b) 1 - i

      

6.  Efetue as seguintes divisões de números complexos:

        a)       -10+15i                                               b)    1+3i
                     2 - i                                                         1 + i  

7.  Calcule as potências:

        a)     (1 + i)²                                              b)    (-2 + i)²

8.  Sendo z = (m² - 5m + 6) + (m² - 1).i, determine m de modo que z seja um imaginário puro.

9.  Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)¹² .

10. Calcule o número complexo i¹²⁶ + i^-126 + i³¹ - i¹⁸⁰

11. Sendo z = 5i + 3i² - 2i³ + 4i²⁷ e w = 2i¹² - 3i¹⁵ , calcule Im(z).w + Im(w).z .

12. (UCMG) - O número complexo 2z, tal que 5z + = 12 + 6i é:

13. (UCSal) - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real qual deve ser o valor de “a”?

14. (UFBA) - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , calcule o valor de a.c + b.

15. (Mackenzie-SP) – Calcule o valor da expressão y = i + i² + i³ + ... + i¹⁰⁰¹.

16. Determine o número natural n tal que (2i)ⁿ + (1 + i)²ⁿ + 16i = 0.
17. (UEFS-93.2) - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), calcule os valores de m e n.
18. A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a (-8 - 6i). Calcule 19. (FESP/UPE) - Seja z = 1+ i , onde i é a unidade imaginária. Calcule a potência  z⁸.

20. (UCSal) - Sabendo que (1+i)² = 2i, então calcule o valor da expressão y = (1+i)⁴⁸ - (1+i)⁴⁹.

EXERCÍCIOS SOBRE DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS COM SOLUÇÃO

EXERCÍCIOS SOBRE DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

QUESTÃO 1

Determine o valor do quociente dos números complexos z₁ e z₂, sabendo que z₁ = 2 – 3i e z₂ = – 1 + 2i.

Ver Resposta

QUESTÃO 2

Escreva, na forma complexa z = a + bi, o número complexo:

z = (5 + 2i) . (2 – i)
   3 + i

Ver Resposta

QUESTÃO 3

(Cefet – PR) A expressão , na qual i é a unidade imaginária, é igual a:

a)  1 - i  -     2i   
     1 + i    1 + 3i

b) 3 + i
       2

c) 1 + 2i

d) – 1 – 2i

e) 2 + 4i
        5

Ver Resposta

QUESTÃO 4

(UFRS) A forma a + bi de z = 1 + 2i é:
                                                 1 - i

a) 1 + 3 i
    2    2

b) - 1 + 3 i
       2    2

c) - 1 + 2 i
       2    3

d) - 1 - 2 i
       2   3

e)  1 - 3 i
     2    2

Ver Resposta

RESPOSTAS

Questão 1

Representando esse quociente como fração, temos z₁ como numerador e z₂ como denominador. Para determinar o quociente, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado deste. Temos então:

z₁ =   2 – 3i 
z₂    – 1 + 2i

z₁ =   (2 – 3i ) . (– 1 – 2i)  
  z₂      (– 1 + 2i) . (– 1 – 2i)   

z₁ = – 2 + 3i – 4i + 6.i²
z₂         (– 1)² – (2i)²      

z₁ = – 2 + 3i – 4i – 6
z₂          1 – (– 4)       

z₁ = – 8 – i
z₂         5    

Portanto, o quociente entre os complexos z₁ e z₂ é - 8 - i.
                                                                                      5

Voltar a questão

Questão 2

Primeiramente, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação no numerador da fração:

z = 10 + 4i – 5i – 2i²
     3 + i

z = 10 – i – 2.(– 1)
    3 + i

z = 10 – i + 2
    3 + i

Números Complexos – Exercícios com respostas

Números Complexos – Exercícios

01. O produto (5 + 7i) (3 – 2i) vale: 

PUBLICIDADE

a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 – 11i
e) 29 + 31i

02. Se f(z) = z² – z + 1, então f(1 – i) é igual a:

a) i
b) -i + 1
c) i – 1
d) i + 1
e) -i

03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i² = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + i)⁴ é um número real?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos

04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i¹⁰ + i^-100 é:

a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1

05. Sendo i a unidade imaginária, (1 – i )^-2 é igual a:

a) 1
b) -i
c) 2i
d) -i/2
e) i/2

06. A potência (1 – i )¹⁶ equivale a:

a) 8
b) 16 – 4i
c) 16 – 16i
d) 256 – 16i
e) 256

07. Se os números complexos z1 = 2 – i e z2 = x + i, x real e positivo, são tais que |z₁ . z₂|² = 10 então x é igual a:

a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1

08. O módulo do complexo cos a – i . sen a é:

a) -1
b) -i
c) i
d) i4
e) i5

09. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 – 12i.

10. Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x⁸ – 17x⁴ + 16 = 0.

Respostas:

01. C	02. E	03. C	04. A
05. E	06. E	07. E	08. D

09. 3 – 2i; -3 + 2i

10. V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}

Jovem de 26 anos é recordista de nomeações em concursos públicos.

Jovem de 26 anos é recordista de nomeações em concursos públicos

Aos 17 anos Kalebe começou a fazer concursos. Em 5 anos fez 29 provas. Foi nomeado para 10 cargos. Hoje, aos 26 , é Oficial de Justiça do TRT na 6ª Região

18/11/2016 09:00 | Atualização: 18/11/2016 09:32

Beatriz Fidelis - Especial para o Correio

Kalebe Dionísio fez 29 concursos públicos em cinco anos. Aos 22 anos foi nomeado Oficial de Justiça."Ser aprovado é fácil, difícil é o sacrifício que a aprovação requer." Esse é o mote do gênio dos concursos, recordista em nomeações, Kalebe Lael Costa Dionísio. De João Pessoa, capital da Paraíba, para todo o Brasil. É esse o perfil do jovem que aos 22 anos de idade já era servidor Tribunal Regional do Trabalho na 6ª Região. Hoje, aos 26 anos, Kalebe é o jovem com maior número de nomeações em concursos públicos federais segundo o ranking RankBrasil. No total, foi selecionado em 10 cargos.

História de Sucesso

A saga de Kalebe começou em 2008 e foi até 2013, quando finalmente foi aprovado para a carreira dos sonhos, o cargo de Oficial de Justiça no Tribunal Regional do Trabalho do estado da Paraíba. Começou os estudos aos 17 anos, enquanto esperava o resultado do vestibular para o curso de Direito na Universidade Federal da Paraíba. Na época, se inscreveu para dois concursos no mesmo dia, ambos de nível médio: pela manhã o TRF da 5ª Região e no período da tarde o INSS. Segundo ele, foi um erro que cometeu, porque os concursos tinham editais bem diferentes. Mas dessa experiência ele tirou bons aprendizados.

 Motivado inicialmente pela necessidade de ajudar nas contas de casa e estimulado de perto pelos pais, que o encorajavam a buscar estabilidade financeira, Kalebe tomou como objetivo de vida ser aprovado em um bom concurso. Em um período de cinco anos fez 29 concursos, mais a prova do vestibular. Desses, foi classificado para 22 e nomeado para dez.

 Kalebe conta que não pensou em desanimar após não ter sido convocado nas primeiras provas: “Continuei fazendo concurso, na verdade, porque eu não tinha sido chamado ainda pra nenhum”. Para ele, o importante é nunca se deixar desanimar: “concurso se faz para passar e até passar”. Segundo ele, é importante que o candidato se prepare para todas as provas que for fazer e eu não desanime até alcançar o cargo sonhado.

 Estratégia Vencedora

Do período em que passou fazendo concursos tirou aprendizados para a vida inteira. Lições essas que hoje ele compartilha no site pessoal, desenhado especialmente quem está se preparando para concursos públicos. “Comecei a fazer o site como hobby, motivacional para concurseiros. Comecei a ouvir muitos concurseiros, dúvidas e questões. Acabei entrando nessa área e criei um curso online”.

 Kalebe conta que criou a própria metodologia de estudos, e é ela que compartilha no curso, voltado para técnicas de estudo para todos os tipos de concursos públicos: “Acabei criando essa metodologia de estudo na base da tentativa e erro, e eu vi que deu certo. O objetivo é ensinar a estudar. Porque tem muita gente que acha que estudar é só pegar uma apostila e ler e assistir uma videoaula”.

 A dica que Kalebe deixa para os concurseiros de plantão é de não desanimar e seguir o seu sonho. “Depois que chegar a um certo nível procura algo que dê prazer. Porque é muito melhor ter vontade de sair de manhã pra trabalhar do que sair se lamentando ou esperar ansiosamente toda semana a sexta feira chegar.”