Introdução ao Estudo de Matemática Comercial e
Financeira
Prof. Mauro Cinosi
- Números Proporcionais
- Médias
- Regra de Sociedade
- Regra de Três
- Porcentagens
- Juros Simples
- Juros CompostosNúmeros ProporcionaisProporções – O resultado da comparação entre duas grandezas recebe o nome de razão: ¾ ou 3:4Se 16/8 = 2 e 10/5 = 2, podemos dizer ambas frações formam um proporção, isto é:16/8 = 10/5Dada uma proporção: a/b = c/d diz-se que d é a quarta proporcional.Os extremos da proporção são 16 e 5 e os meios são 8 e 10.Daí tiramos a propriedade fundamental da proporção: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Ou seja, na proporção dada temos: 16x5 = 8x10.Exercícios: Calcular x nas proporções:1) x/8 = 15/5 2) x/6 = 8/12 3) 0,75/0,25=1,5/x
4) 12/6 = x/4 5) 24/6 = x/4 6) 0,8:1,2 :: x:0,75
Resp.: 1) 24; 2) 4; 3) 0,5
4) 8; 5) 16; 6) 0,5
Médias
Média
Aritmética de n números é o quociente da divisão da soma desses números por n.
Ex. Achar a
média aritmética dos números 5, 7 e 9.
Ma = 5+7+9 = 21 = 7
3 3
Exercícios:
Calcular a média aritmética dos números:
- 9, 11, 20 e 10 3) 3,4; 4,6 e 5,8
- 7/8, 5/6, 3/3 e ½ 4) 2 1, 7 e 1,252 8
5) Mistura-se a mesma quantidade
de vinho de R$ 62,00, R$ 45,00 e de R$ 37,00 o quinto. Por
quanto se deve vender cada quinto da mistura?
quanto se deve vender cada quinto da mistura?
Significado
de Quinto: Quinto também pode significar uma medida de capacidade,
correspondente á cerca de 80 litros. Exemplo do uso da palavra Quinto: O quinto é normalmente usado por produtores de vinho.
correspondente á cerca de 80 litros. Exemplo do uso da palavra Quinto: O quinto é normalmente usado por produtores de vinho.
Resp.: 1) 12,5; 2) 12,8; 3) 4,6
4) 47/24; 5) R$ 48,00.
Média Aritmética Ponderada
Ao tirarmos
uma média aritmética de várias quantidades, devemos levar em consideração
certas
circunstâncias que influem nos valores dessas quantidades. Para calcularmos a média ponderada,
multiplicamos os números pelos respectivos pesos e dividimos a soma desses produtos pela soma dos pesos.
circunstâncias que influem nos valores dessas quantidades. Para calcularmos a média ponderada,
multiplicamos os números pelos respectivos pesos e dividimos a soma desses produtos pela soma dos pesos.
Ex. Calcular a
média ponderada dos números 15, 20 e 32, atribuindo-lhes respectivamente os
pesos 4, 3 e 2.
Mp = 15x4+20x3+32x2
= 60+60+64 = 184 = 20,44
4+3+2 9 9
Exercícios:
- Qual será a média ponderada dos números 3, 5, 4 e 2, atribuindo-lhes respectivamente os pesos 1, 2, 3 e 4?
Resp.: 3,3
- Achar a média ponderada dos números 47, 32, 28, atribuindo-lhes respectivamente os pesos 4, 5 e 6.Resp.: 34,4
- Misturando-se 12 litros de vinho de US$ 0,25 com 38 litros de US$ 0,75 qual será o preço do litro da mistura?Resp.: US$ 0,63
- Achar a média ponderada dos números 40, 50, 60. 70 e 90, atribuindo-lhes respectivamente os pesos 1, 2, 3, 4 e 5.Resp.: 70Média HarmônicaCalculamos a média harmônica de n números a, b, c, ..., dividindo n pela soma dos inversos desses números.Mh = n =1 + 1 + 1 ...a b cExemplo: Calcular a média harmônica dos números 2, 3 e 4.Mh = n = 3 = 2,761 + 1 + 1 132 3 4 12Exercícios:Calcular a média harmônica dos números:
- 4, 5, 6 e 6. Resp.: 5 5 2) 2/3, ¾ e 5/6 Resp.: 90/12147Média Geométrica ou ProporcionalÉ igual a raiz quadrada do produto desses números.A média geométrica entre 6 e 24 é Mg = = 12Exercícios: Achar o valor de x nas proporções:
- 8/x = x/32 Resp.: 16 2) x/7 = 37/x Resp.: 16,09 3) 0,3/x = x/1,2 Resp.: 0,6
- Achar a média geométrica de 10 e 16,9. Resp.: 13Grandezas ProporcionaisDuas grandezas são diretamente proporcionais, ou simplesmente proporcionais, quando aumentando ou diminuído o valor de uma delas um certo número de vezes, o valor da outra também aumenta ou diminui esse mesmo número de vezes.Exemplo. Se 5m de seca custam R$ 100,0015m custarão R$ 300,00 e 45m custarão R$ 900,00.Duas quantidades são inversamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo o valor de uma delas de um certo número de vezes, o valor da outra diminui ou aumenta desse mesmo número de vezes.Assim, se 6 operários fazem um serviço em 18 dias, 3 operários o farão em 36 dias, 12 operários farão em 9 dias.Divisão em Partes ProporcionaisDividir um número em partes proporcionais a outros números dados, é procurar parcela desse número que sejam proporcionais aos números dados, e que, somados, reproduzam o número.Ex. Dividir 720 em partes proporcionais aos números 2, 3 e 4.Some 2+3+4 = 9. Divida 720 por nove e se obtém 80 (fator de multiplicação). Multiplique 2 x 80 = 160; 3 x 80 = 240; e 4 x 80 = 320. Conferindo: 160 + 240 + 320 = 720.Exercícios:
- Dividir 540 em partes proporcionais aos números 1, 2 e 3. Resp.: 90, 180, 270.
- Dividir 840 em partes proporcionais aos números 2/3, ½, 5/6 Resp.: 280, 210 e 350
- Dividir R$ 12,00 em partes proporcionais aos números 3/5, 3/2 e 0,9 Resp.: R$ 2,40; R$ 6,00 e R$ 3,60.
- Um senhor deixa uma herança de R$ 30.000.000,00 a ser repartida entre 3 filhos, proporcionalmente a suas idades, que são: 3 anos, 4 anos e 5 anos. Quanto cada um herdará sabendo que a mãe falecera e os filhos herdaram a quantia por cabeça na proporção de suas idades, conforme testamento?Resp.: R$ 7.500.000,00, R$ 10.000.000,00 e R$ 12.500.000,00.
- Na liquidação de uma falência apura-se um ativo de R$ 24.000,00, e um passivo constituído pelas seguintes dívidas: a A, R$ 16.000,00, a B, R$ 24.000,00 e a C, R$ 20.000,00. Quanto receberá cada um dos credores? Resp.: R$ 6.400,00; R$ 9.600,00 e R$ 8.000,00.
- Dividir 6.500 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. Resp.: 3.000; 1.500 e 2.000
- Dividir 927.200 em partes inversamente proporcionais aos números 2/3, 4/5 e ½.Resp.: 292.800; 244.000 e 390.400.
- Dividir 353.532 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 7/4, ¾ e 1,3.Resp.: 55.692; 63.648; 148.512 e 85.680.Regra de SociedadeÉ justo que em uma sociedade os lucros e prejuízos sejam distribuídos entre os vários sócios, proporcionalmente aos capitais empregados e ao tempo durante o qual estiveram empregados na constituição dessa sociedade. Ela poderá ser simples ou composta.Regra de Sociedade Simples
- Quando os capitais são diferentes e os tempos iguais, os lucros ou os prejuízos serão proporcionais aos capitais. Confira no exemplo:Exemplo: Duas pessoas formam uma sociedade e lucraram R$ 25.000,00. O primeiro entrou com R$ 70.000,00 e o segundo com R$ 55.000,00. Qual foi o lucro de cada um?25.000 = 25.000 = 0,2 { x = 0,2 x 70.000 = 14.0007.000 + 5.500 12.500 {y = 0,2 x 55.000 = 11.000
- Quando os capitais são iguais e os tempos diferentes, dividem-se os lucros ou os prejuízos em partes proporcionais aos tempos. Veja o exemplo:Exemplo: Ana, Beto e Carla associaram-se, entrando cada um com o capital de R$ 15.000,00 e tiveram um prejuízo de R$ 750,00. Ana ficou na sociedade 8 meses; Beto 7 meses e Carla 10 meses. Qual foi o prejuízo de cada um?Somando-se os meses temos 8+7+10 = 25. Dividindo o prejuízo de 750 por 25 temos o fator igual a 30.Multiplicando-se esse fator pelo o tempo que cada um ficou na sociedade teremos as parcelas de prejuízo suportadas por cada um dos sócios. Assim: 8x 30 = 240 cabe a Ana; 7 x 30 = 210 cabe a Beto e 10 x 30 = 300 cabe a Carla.Regra de Sociedade CompostaQuando os capitais e os tempos forem diferentes, os lucros ou os prejuízos serão proporcionais aos capitais multiplicados pelos tempos respectivos.Exemplo: Três sócios lucram juntamente R$ 21.500,00. O primeiro entrou com R$ 7.000,00 durante 1 ano; o segundo com R$ 8.500,00 durante 8 meses e o terceiro com R$ 9.000,00 durante 7 meses. Qual foi o lucro de cada um?Dividindo os 21.500 em partes proporcionais aos produtos dos capitais pelos tempos respectivos temos:7.000x12 = 84.0008.500x8 = 68.0009.000x7 = 63.000Quando os parâmetros não são primos entre si, podemos simplificá-los, dividindo-os pelo MDC, o que traz grande vantagem para o cálculo. Logo, dividindo todos por 1.000, ficam os parâmetros 84, 68, e 63. Que somados dão o total de 215.Dividindo o lucro de 21.500 pelos 215 temos como resultado 100. Multiplicando-se esse valor pelos três parâmetros teremos os lucros de cada: 8.400, 6.800 e 6.300.Exercícios:
- Dois sócios lucraram R$ 2.760,00. O primeiro entrou para a sociedade com R$ 1.800,00 e o segundo com R$ 2.100,00. Qual o lucro de cada sócio?Resp.: R$ 1.273,00 e R$ 1.486,00.
- Três pessoas formaram uma sociedade com o capital de R$ 2.000,00 e lucraram R$ 800,00. Calcular a entrada de cada sócio, sabendo que ao primeiro coube R$ 240,00; ao segundo R$ 360,00 e ao terceiro R$200,00. Resp.: R$ 600,00; R$ 900,00 e R$ 500,00
- Três homens compraram um terreno de 5.400 m². Qual é a porção de cada um se o primeiro entrou com R$ 80.000,00, o segundo com R$ 100.000,00 e o terceiro com R$ 120.000,00?Resp.: 1.440 m²; 1.800 m² e 2.160m².
Regra
de Três Simples
Constituem regra de três os problemas que
envolvem pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais. Sendo regra
de três simples direta e regra três simples inversa. Envolvem dois pares de
grandezas direta ou inversamente proporcionais.
Exemplo 1 – Comprei 36 kg de café por R$
2.100,00. Quantos kg compraria com R$ 3.150,00?
Kg preço É
direta porque com mais dinheiro comparemos mais café.
36 2100 36=
2100 x = 36x3150 = 54
X 3150 x 3150
2100
Exemplo 2 – Com a velocidade de 75 km/h
um automóvel percorre, em 8 horas, certo percurso. Em quanto tempo ele
percorreria se a velocidade fosse 60 km/h?
A 75 km/h demora 8h
A 60 km/h demora x É inversa pois diminuindo a
velocidade aumenta-se o tempo gasto.
Km h
75 8 60
= 8 x = 75x8 = 10
horas
60 x 75 x 60
Regra de Três Composta
Quando
existem mais de dois pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais.
Ex.
20 operários em 10 dias de 8 horas, tecem 16.000m de certo tecido. Quantos dias
de 10 horas seriam necessários para 16 operários, cuja atividade é o dobro da dos primeiros , tecerem 32.000m
de outra fazenda, cuja dificuldade são
os 4/5 da primeira?
Listamos
os dados conforme o problema os apresenta, tendo o cuidado de colocar as
grandezas de mesma natureza uma debaixo
da outra.
- op. 10d 8h 16.000m 1 at. 1 dif.
16 op. Xd 10h 32.000m 2 at. 4/5
dif.
inversa inversa direta inversa direta
Relacionando
cada par de grandezas com 10/x, teremos cinco problemas de regra de três
simples que se encadeiam assim:
10
= 16 x 10 x 16.000 x 2 x 1 ↔ 10
= 5 ↔ x = 8
X 20
x 8 x 32.000 x 1 x 4/5 x 4 Resp. 8 dias
Exercícios.
- 5 rapazes ganharam R$ 6.800,00. Quanto ganhariam 28 rapazes: Resp. R$ 38.080,00
- 20 operários fazem um trabalho em 18 dias; quantos operários seriam necessários para fazer o mesmo serviço em 12 dias? Resp. 30.
- Um trem percorre certa distância em 8 horas, com a velocidade de 60 km por hora. Quanto tempo levaria para fazer o mesmo percurso com a velocidade de 50 km por hora? Resp. 9h 36min.
- Um navio tem víveres para uma viagem de 15 dias. Devido a uma acidente qualquer, logo no início da viagem, esta tem de ser retardada de 5 dias. A quanto tem de ser reduzida a ração de cada tripulante?Resp. Tem de ser reduzida a ¾.
- 1 Libra vale R$ 3,80. Qual será o valor de 52,15 Libras. Resp. R$ 198,17
- 5 operários fazem um serviço em 8 dias. Se se contratassem mais 3 operários, em quantos dias ficaria pronto o serviço? Resp. 5 dias.
- Em cada 100 alunos foram reprovados 25. Em uma classe de 48 alunos, qual foi o número de reprovados?Resp. 12
- Uma torneira enche um tanque em 3 horas, outra o vazaria em 4 horas. Abertas as duas torneiras, em quanto tempo ficaria o tanque cheio? Resp. 12 horas.
- 15 operários , em 9 dias de 8 horas, ganham R$ 10.800,00. Quanto ganhariam 23 operários em 12 dias de 6 horas? Resp. R$ 16.560,00
- 5 homens, em 8 dias, ganham R$ 4.800,00. Quantos dias seriam necessários para 9 homens ganharem R$ 23.760,00? Resp. 22 dias.
- 14 operários, trabalhando 10 dias de 8 horas, fazem 56.000m de certo tecido. Quantos dias de 6 horas serão necessários a 9 operários para fazerem 32.400m do mesmo tecido? Resp. 12 dias.
- Um viajante quer fazer em 8 dias o trajeto já feito em 12 dias de 10 horas. Quantas horas deverá andar por dia, se aumentou de 2/5 a sua velocidade? Resp. 10h 42min 51 segundos.
- 18 operários, em 24 dias, fizeram 3.240 m de pano. Quantos dias levarão 20 operários para fazerem 2.040m, se os primeiros são 3 vezes mais ativos que os segundos? Resp. 40,8 dias
- Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1.000m de um tecido. Quantos dias de 6 horas levaria para fazer 2.000m de outro tecido que apresenta dificuldade igual a ¾ da primeira? Resp 20 dias.PorcentagensChama-se porcentagem ou percentagem à porção de um da do valor, que se determina sabendo-se o quanto corresponde a cada 100. Quando dizemos quinze por cento de um certo valor, queremos dizer que em cada 100 partes desse valor tomamos 15 partes.A expressão quinze por ceto, que se representa por 15%, chama-se taxa de porcentagem. Uma fração, pois, expressa com o denominador 100 seria uma porcentagem; e o seu numerador é a taxa de porcentagem.Assim , na razão 8/100 a taxa de porcentagem é 8. Escreve-se 8%, e lê-se oito por cento.Calcular 8% de R$ 1.200,00. Formamos uma regra de três simples.100 8 100:1.200:: 8:x ↔ x = 1.200x8 = 961.200 x 100 Resp. R$ 96,00Fórmula Para obter as fórmulas resolvemos o seguinte problema literal.Calcular a porcentagem p, à taxa i, sobre a quantia P(principal).Cálculo da porcentagem p = PiCálculo do principal P = pICálculo da taxa i = pPAplicações: 1) Um negociante compra R$ 25.000,00 de mercadorias e quer lucrar 30%. Calcular o lucro desse negociante.p = Pi = 25000x0,30 = 7500 Resp. R$ 7.500,002) Um negociante vendeu mercadorias com um lucro de R$ 3.900,00, correspondente a 30% do valor das mesmas. Quanto lhe custaram as mercadorias?P = p = 3900 = 13000 Resp. R$ 13.000,00i 0,33) Comprei um relógio por R$ 320,00 e o vendi com um lucro de R$ 40,00. De quanto por cento sobre o preço de custo foi o meu lucro? Resp. 12,5%Exercícios
- Calcular a)8% de 432 b) 7 3% de 935 c) 6% de 18 d)9% de 0,847 e) 5%o de 487 f) 2/3% de 12.4Resp. 34,56; 72.462.5; 1.08; 0,076.23; 2,435 e 0,08
- Quantos por cento serão a) 17 de 340; b) 30 de 120; c) 16 de 20; d) 40 de 200; e) 20 de 100; f) 5 de 80.Resp. 5%, 25%, 80%, 20%, 20% e 6,25%.
- Calcular os números cujos:a ) 5% são 30; b) 8,5% são 68; c) ½% são 40; d)8% são 36; e) 10% são 42; f) 3% são 1,728.Resp. 600, 800, 8.000, 450, 420 e 57,6
- Um vendedor trabalha nas seguintes condições: ganhar 5% sobre os lucros das vendas realizadas. Quanto ganhou ele em um mês em que as vendas atingiram R$ 45.000,00, dando um lucro de 30%? Resp. R$ 675,00.
- Calcular o principal, quando corresponde: a) 5% a 40? b) 6% a 54? c) 8,5% a 85? d) 7% de 56? e) 3%o a 36? f) 4%o a 50? Resp. 800; 900; 1.000; 800; 12.000; e 12.500
- Um vendedor é contratado na seguintes condições: ganhar 3% sobre os 30% de lucros auferidos pela empresa, na venda de suas mercadorias. Qual será seu ordenado em um mês em que vendeu R$ 40.000,00?Resp. 360,00
- Um negociante vendeu mercadorias compradas a R$ 2.000,00 por R$ 2.500,00. De quanto por cento foi seu lucro sobre o preço de compra e sobre o preço de venda? Resp. 25% e 20%.
- Calcular o abatimento que se faz sobre a venda de R$ 250,00 de pneu, quando se concede um desconto de 20% e mais 5%. Resp. R$ 60,00
- Em uma cidade , 35% dos habitantes são homens, e os restantes 26.000, mulheres. Qual a população da cidade? Resp. 40.000
- 20% dos alunos de uma classe de 40 foram reprovados. Quantos foram promovidos? Resp. 32
- Sobre uma fatura de R$ 180,00 tive um abatimento de 30%. Quanto paguei? Resp R$ 126,00Juros SimplesAo emprestarmos certa quantia a uma pessoa, é justo recebermos com a quantia emprestada mais outra quantia que representa o aluguel pago pelo empréstimo. A quantia emprestada representa o capital, o aluguel os juros.Logo, juro é o prêmio que se paga por um capital emprestado.Assim se uma pessoa empresta a outra a quantia de R$ 100,00 e no final de um ano recebe além da quantia emprestada mais R$ 12,00, como prêmio desse empréstimo, diremos que esses R$ 12,00 representam o juro do capital emprestado. Observamos que R$ 12,00 corresponde a 12% de ser valor em um ano.Deste modo, o juro produzido na unidade de tempo chama taxa de juro.Utilizando uma regra de três para calcular os juros do capital C, à taxa i, no tempo t, temos a fórmula:J = Cit, se o tempo for expresso em anos utiliza-se t, se for em meses t/12 e se for em dias t/360.Aplicações
- Calcular os juros de R$ 5.200,00 a 6% a.a. em 4 anos.J = Cit = 5200x0,06x4 = 1248 Resp R$ 1.248,00
- Qual o tempo necessário para R$ 6.000,00, a 5% a.a, renderem R$ 900,00 de juros?J = Cit ↔ t = J = 900 = 3 Resp 3 anosCi 6000 x 0,05
- A que taxa devemos colocar o capital de R$ 10.000,00 para , em 2 anos, 6 meses e 10 dias termos o total de R$ 1.137,50 de juros?2a 6m e 10d = 910 diasJ = Cit ↔ i = J = 360x1137,5= 0,045 = 4,5% Resp 4,5% a.a.Ct 10000x610Montante - Em certos problemas de juros simples, aparece o capital somado com os juros. A essa soma de capital e juros, damos o nome de montante. Portanto M = C + J.Substituindo a fórmula de juros na de montante obtemos M = C( 1 + it) e J = Mit1+ itAplicações:
- Coloquei uma certa quantia em um banco, a 5% a.a. e recebi R$96,00 depois de 4 anos. Calcular os juros.J = Mit = 96x0,05x4 = 19,2 = 16 { i = 5 = 0,05 Resp R$ 16,001+ it 1+0,05x4 1,2 100
- Emprestei uma certa quantia a 8% a.a. e recebi R$ 60,00, depois de 2a 6m.Qual foi a quantia emprestada? 2a e 6m = 30 mesesM = C( 1 + it) C = M = 60 = 60 = 50 Resp R$ 50,00( 1 + it) 1+0,08x30/12 1,2Exercícios
- Calcular os juros anuais de R$ 100,00 a 6% a.a. Resp R$ 6,00
- Calcular os juros mensal de R$ 8.000,00 à taxa de 10% a.a.. Resp R$ 66,67
- Calcular o juro anual de R$ 50,00 a 3/4 % mensais. Resp R$ 4,50
- Calcular o juro mensal de R$ 60,00 a 5/6% mensais. Resp R$ 0,50
- Qual é o rendimento de R$ 600,00 a 5% a.a. , em 2 a 6m Resp R$ 75,00
- R$ 28,80 renderam durante um certo tempo R$ 6,00 à taxa de 5% a.a. determinar esse tempo. Resp. 4a e 2m.
- Calcular os juros de R$ 14.400,00 à taxa de 6% a.a, de 16 de março a 3 de agosto do mesmo ano. (ano civil = 365 dias, se o ano for bissexto conta-se 366 dias) Resp R$ 336,00
- Quais os juros de R$ 122,00 à taxa de 8% a.a., de 10 de janeiro a 9 de maio (ano civil e bissexto). Resp R$ 3,20.
- Qual o capital que, à taxa de 9% a.a, produz R$ 10,80 em 2 anos? Resp R$ 60,00
- Qual o capital que a 4% a.a., em 40 dias produz o montante de R$ 72,32? Resp R$ 72,00