Teorema da Decomposição de Polinômios

Teorema da Decomposição de Polinômios

Os primeiros registros encontrados sobre a resolução de algumas equações de segundo grau são de aproximadamente 1700a.C. e pertence à civilizações antigas dos sumérios, egípcios e babilônios.Os gregos aperfeiçoaram a técnica de resolução de equações de segundo grau utilizando a Geometria. A obra Al-jabr W'al-Magabala do matemático e astrônomo Al-Kowarizmi, datada do século VIII inclui resoluções completas de equações de 1º e 2ºgraus. A palavra "álgebra" surge daí. No século XVI com o Renascimento italiano, houve um progresso na Álgebra: a resolução de equações de 3º e 4º graus. A história da resolução dessas equações envolvem segredos, desafios e traições, culminando em 1545 com a publicação de Ars Magna, de Girolamo Cardano, contendo o processo de resolução e a devida demonstração da fórmula da resolução de uma equação de terceiro grau, além de explicar como se resolver uma equação de quarto grau. Durante dois séculos e meio, tentou-se encontrar uma fórmula para a resolução de equações de 5º, mas somente em 1824 o matemático norueguês Niels Abel (1802−1829) provou consistentemente a impossibilidade de resolução dessas equações por meio das quatro operações básicas aritméticas e de radiciações. Logo depois, Evariste Galois (1811−1832) generalizou as condições de resolubilidade de uma equação algébrica qualquer, dando origem à Álgebra Moderna.

Teorema Fundamental da Álgebra

O Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) nos garante que todo polinômio p(x)=0 de grau n, n≥1, admite pelo menos uma raiz complexa, real ou não. A demonstração desse teorema foi a tese de doutoramento do grande Gauss (1777−1855), então com 21 anos, constituindo um elemento central para o estudo das equações algébricas.

Teorema da Decomposição em Fatores de Primeiro Grau

Uma consequência do Teorema fundamental da Álgebra é o Teorema da Decomposição.

Teorema:

Todo polinômio P(x) de grau n≥1:

P(x)≡anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0(1)

pode ser fatorado como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau:

P(x)≡an(x−r1)(x−r2)⋯(x−rn)(2)

onde r1,r2,⋯,rn são todas as raízes de P(x).

Demonstração:

Seja P(x) um polinômio de grau n≥1:

P(x)≡anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0(3)

Pelo Teorema fundamental da Álgebra (TFA) , P(x) admite uma raiz complexa r1. Logo, podemos escrever P(x) como:

P(x)≡(x−r1)⋅Q1(x)(4) onde Q1(x) tem grau n−1.

Se n−1≥1, então pelo TFA, Q1(x) admite uma raiz complexa r2 e podemos escrever:

Q1(x)≡(x−r2)⋅Q2(x)(5)

Substituindo (5) em (4), obtemos:

P(x)≡(x−r1)(x−r2)⋅Q2(x)(6)

Repetindo esse processo até que Qn(x) seja constante, obtemos:

P(x)≡(x−r1)(x−r2)(x−r3)⋯(x−rn)⋅Qn(x)(7)

Por definição de identidade de polinômios, temos que o coeficiente an de P(x)deve ser igual a Qn(x). Logo:

P(x)≡an(x−r1)(x−r2)(x−r3)⋯(x−rn)(8)

Exemplos:

1) Fatorar o polinômio P(x)≡2x2−7x+3 como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau. Primeiramente devemos encontrar as raízes do polinômio. Para isso, igualamos a zero e assim poderemos aplicar a fórmula para a equação de segundo grau:

2x2−7x+3=0x=7±(−7)2−4⋅2⋅3−−−−−−−−−−−−√4x=7±54x1=7+54=3x2=7−54=12

Agora, pelo Teorema da Decomposição, temos:

P(x)≡2(x−3)(x−1/2)

2) Decompor P(x)≡4x2−x−3 como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau. Fazemos:

4x2−x−3=0x=1±(−1)2−4⋅4⋅(−3)−−−−−−−−−−−−−−−√8x1=1+78=1x2=1−78=−34

Assim pelo Teorema da Decomposição:

P(x)≡4(x−1)(x+3/4)

3) Decompor P(x)≡x3−8x2+12x como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau. Fazemos:

x3−8x2+12x=0x(x2−8x+12)=0

Então, temos que x=0 ou x2−8x+12=0. Aplicando a fórmula para a equação de segundo grau:

x2−8x+12=0x=8±(−8)2−4⋅12−−−−−−−−−−−√2x=8±42x1=6x2=2

Assim, pelo Teorema da Decomposição:

P(x)≡1(x−0)(x−6)(x−2)P(x)≡(x−2)(x−6)

4) Uma das raízes do polinômio P(x)≡3x3−20x2+23x+10 é 5. Fatorar P(x) como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau. Como 5 é uma raiz de P(x), pelo Teorema de D'Alembert, temos que P(x) é divisível por (x−5), ou seja P(x)≡(x−5)⋅Q(x). Obtemos Q(x)dividindo P(x) por (x−5). Assim, podemos aplicar Briot-Ruffini para encontrarmos as outras raízes:

Logo, Q(x)≡3x2−5x−2. Portanto, P(x)≡(x−5)(3x2−5x−2). As raízes de P(x) são dadas por: (x−5)(3x2−5x−2)=0. Então, ou x−5=0 ou 3x2−5x−2=0. Para x−5=0, temos que x=5. Aplicando a fórmula da equação de segundo grau na segunda equação, encontramos como raízes 2 e −1/3. Assim, pelo Teorema da Decomposição:

P(x)≡3(x−5)(x−2)(x+1/3)

5) Sabendo que 3 é uma raiz dupla da equação x4−12x3+53x2−102x+72=0, obter as outras raízes em C. Pelo Teorema da Decomposição, a equação pode ser reescrita como:

(x−3)(x−3)(x−r3)(x−r4)Q2(x)Q1(x)=0

onde r3 e r4 são outras duas raízes da equação, além do 3. Dividindo P(x)≡x4−12x3+53x2−102x+72 por x−3, obtemos Q1(x). E dividindo Q1(x) por x−3, obtemos Q2(x). Aplicando Briot-Ruffini:

Portanto, Q1(x)≡x3−9x2+26x−24. Para Q2(x), fazemos:

Portanto, Q2(x)≡x2−6x+8. Agora, reescrevemos a equação original como:

(x−3)(x−3)(x2−6x+8)=0

Resolvendo cada uma das equações:

x−3=0x=3   e

x2−6x+8=0x1=4x2=2

Portanto, além da raiz dupla r1=r2=3, a equação admite outras duas raízes iguais a r3=2 e r4=4. 

Referências:

[1] Matemática Volume Único - Manoel Paiva - Ed. Moderna

Disponível em: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2014/10/teorema-da-decomposicao-de-polinomios.html