EXERCÍCIOS SOBRE POLINÔMIOS COM RESPOSTAS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE POLINÔMIOS

Procurando exercícios resolvidos sobre polinômios?

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Aqui a matemática é abordada de forma simples e objetiva.

Confira uma seleção de questões resolvidas retiradas de vários concursos pelo país.

Bons estudos.

Prova Resolvida Guarda Civil SP – Questão 21. O resto da divisão do polinômio x³ + 3x² – 5x + 1 por x – 2 é:

a) 1

b) 2

c) 10

d) 11

e) 12

Prova Resolvida Guarda Civil SP – Questão 22. Considere o polinômio:

 Sabendo que P(1) = 2, então o valor de P(3) é:

a) 386.

b) 405.

c) 324.

d) 81.

e) 368.

Resolução:

Como P(1) = 2:

P(1)=4.1  + 3.1 – 2.1 + 1 + k =2

4 + 3 – 2 + 1+ k = 2

10 + k = 2

k = 2 – 6

k = – 4

O polinômio será P(x) =  4x^4  + 3x³ + 2x² + x – 4

Calculando P(3):

P(3) =  4x^4  + 3x³ + 2x² + x – 4

P(3) = 4.81 + 3.27 – 2.9 + 3 – 4

P(3) = 324 + 81 – 18 + 3 – 4

P(3) = 386

Prova Resolvida RFB 2009 – Esaf – Questão 39. Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – a) e (x – b) com a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x–a) e (x–b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x – 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x – 1) e (x + 3) é igual a:

a) 13x/4 + 7/4

b) 7x/4 – 13/4

c) 7x/4 + 13/4

d) -13x/4 – 13/4

e) -13x/4 – 7/4

Resolução:

Primeiramente, o resto da divisão de um polinômio P(x) por (x-a) é igual a P(a)

Dividindo o polinômio f pelo polinômio de grau 2, resultado do produto (x-1).(x+3). Observe que o resto deve ter grau 1 ou 0 (se divisão exata).Vamos chamar o resto de ax + b.

Temos::

P(1) = 5 (5 é o resto da divisão de f por x-1)

P(-3) = -2 (-2 é o resto da divisão de f por x+3)

Daí,

a.1 + b = 5

a.(-3) + b = -2

Subtraindo a equação 1 pela equação 2, temos:

4a = 7

a = 7/4

Substituindo “a” na equação 1, temos:

7/4 + b = 5

b = 5 – 7/4

b = 13/4

Concluímos que o resto é ax + b = (7/4).x + 13/4

Exercícios sobre Polinômios com Respostas

Polinômios – Exercícios

Leia o artigo: Polinômios

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01. Calcular o valor numérico do polinômio P(x) = x³ – 7x² + 3x – 4 para x = 2.

02. Determinar os valores reais de a e b para que o polinômio x³ + 6x² + ax + b seja um cubo perfeito.

03. (UESB) Se P(x) = xⁿ – x^n-1 + x^n-2 – … + x² – x + 1 e P(-1) = 19, então n é igual a:

a) 10
b) 12s
c) 14
d) 16
e) 18

04. (UBERL) Se P(x) é um polinômio tal que 2P(x) + x² P(x – 1) ≡ x³ + 2x + 2, então P(1) é igual a:

a) 0
b) -1
c) 1
d) -2
e) 2

05. As soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio x⁴ – 10x³ + 24x²+ 10x – 24 por x² – 6x + 5, são:

a) -1 e 5
b) -1 e -5
c) 1 e -5
d) 1 e 5
e) 0 e 1

06. (UESP) Se o polinômio P(x) = x³ + mx² – 1 é divisível por x² + x – 1, então m é igual a:

a) -3
b) -2
c) -1
d) 1
e) 2

07. (UEL) Dividindo-se o polinômio x⁴ + 2x³ – 2x² – 4x – 21 por x + 3, obtêm-se:

a) x3 – 2×2 + x -12 com resto nulo;
b) x3 – 2×2 + 3 com resto 16;
c) x3 – x2 -13x + 35 e resto 84;
d) x3 – x2 – 3x + 1com resto 2;
e) x3 – x2 + x -7 e resto nulo;

08. (UEL) Se o resto da divisão do polinômio p = x⁴ – 4x³ – kx – 75 por (x – 5) é 10, o valor de k é:

a) -5
b) -4
c) 5
d) 6
e) 8

09. Sejam m e n determinados de tal modo que o polinômio x⁴ – 12x³ + 47x² + mx + n seja divisível por
x² – 7x + 6. Então m + n é igual a:

a) 72
b) 0
c) -36
d) 36
e) 58

10. Para que o polinômio 2x⁴ – x³ + mx² – nx + 2 seja divisível por x² – x – 2, devemos ter:

a) m = 1 e n = 6
b) m = -6 e n = -1
c) m = 6 e n = 1
d) m = -6 e n = 1
e) m = 6 e n = -1

Respostas:

01. P(2) = -18

02. a = 12 e b = 8

03. E	04. E	05. A	06. E
07. E	08. E	09. C	10. D

Exercícios sobre Números Complexos com respostas

lista de exercícios

1 - Calcule o número complexo i¹²⁶ + i^-126 + i³¹ - i¹⁸⁰

2 - Sendo z = 5i + 3i² - 2i³ + 4i²⁷ e w = 2i¹² - 3i¹⁵, calcule Im(z).w + Im(w).z . 

3 - UCMG - O número complexo 2.O, tal que 5z + Ō = 12 + 6i é: 

4 - UCSal - Para que o produto (a + i). (3 - 2i) seja real, a deve ser: 

5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é: 

6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i² + i³ + ... + i¹⁰⁰¹ é: 

7 - Determine o número natural n tal que (2i)ⁿ + (1 + i)²ⁿ + 16i = 0.   Resp: 3

8 - Calcule [(1 + i)⁸⁰ + (1 + i)⁸²] : i⁹⁶.2⁴⁰.   Resp: 1 + 2i

9 - Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi , sabendo-se que z + w é um número real e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b² - 2a.   Resp: 50

10 - Se o número complexo z = 1 - i é uma das raízes da equação x¹⁰ + a = 0 , então calcule o valor de a.  Resp: 32i

11 - Determine o número complexo z tal que i.O + 2.Ō + 1 - i = 0. 

12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x^-1 + x², para x = 1 - i, é:
a) -3i       b) 1 - i       c) 5/2 + (5/2)i       d) 5/2 - (3/2)i       e) 1/2 - (3/2)i 

13 - UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i⁷ + i⁵ + ( i³ + 2i⁴ )² , obtêm-se:
a) -1 + 2i       b) 1 + 2i       c) 1 - 2i       d) 3 - 4i       e) 3 + 4i 

14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10       b) 5 e 10       c) 7 e 9       d) 5 e 9       e) 0 e -9 

15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö13      b) 7       c) 13       d) 7       e) 5 

16 - FESP/UPE - Seja z = 1 + i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z⁸ é igual a:
a) 16       b) 161       c) 32       d) 32i       e) 32 + 16i 

17 - UCSal - Sabendo que (1 + i)²² = 2i, então o valor da expressão
y = (1 + i)⁴⁸ - (1 + i)⁴⁹ é:
a) 1 + i       b) -1 + i       c) 2²⁴ . i       d) 2⁴⁸ . i       e) -2²⁴ . i

Resposta:
1) -3 - i 
2) -3 + 18i 
3) 4 + 3i 
4) 3/2 
5) -2 + 18i 
6) i 
7) 3 
8) 1 + 2i 
9) 50 
10) 32i 
11) -1 - i 
12) B 
13) D 
14) A 
15) A 
16) A 
17) E Fonte: Outros exercícios: http://www.pucrs.br/famat/augusto/calculo_avancado_A/exerc1.pdf

LISTA DE EXERCÍCIOS – OPERAÇÕES COM COMPLEXOS

LISTA DE EXERCÍCIOS – OPERAÇÕES COM COMPLEXOS

1.  Calcule as seguintes somas:

             a) (2 + 5i) + (3 + 4i)                                                         b) i + (2 - 5i)

2.  Calcule as diferenças:

        a) (2 + 5i) - (3 + 4i)                                                          b) (1 + i) - (1 - i)

3.  Calcule os seguintes produtos:

        a) (2 + 3i) (3 - 2i)                                                             b) (1 + 3i) (1 + i)

4.  Escreva os simétricos dos seguintes números complexos:

        a) 3 + 4i         b) -3 + i                         c) 1 - i                              d)  -2 + 5i

5.  Escreva os conjugados dos seguintes números complexos:

        a) 3 + 4i                                                                                              b) 1 - i

      

6.  Efetue as seguintes divisões de números complexos:

        a)       -10+15i                                               b)    1+3i
                     2 - i                                                         1 + i  

7.  Calcule as potências:

        a)     (1 + i)²                                              b)    (-2 + i)²

8.  Sendo z = (m² - 5m + 6) + (m² - 1).i, determine m de modo que z seja um imaginário puro.

9.  Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)¹² .

10. Calcule o número complexo i¹²⁶ + i^-126 + i³¹ - i¹⁸⁰

11. Sendo z = 5i + 3i² - 2i³ + 4i²⁷ e w = 2i¹² - 3i¹⁵ , calcule Im(z).w + Im(w).z .

12. (UCMG) - O número complexo 2z, tal que 5z + = 12 + 6i é:

13. (UCSal) - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real qual deve ser o valor de “a”?

14. (UFBA) - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , calcule o valor de a.c + b.

15. (Mackenzie-SP) – Calcule o valor da expressão y = i + i² + i³ + ... + i¹⁰⁰¹.

16. Determine o número natural n tal que (2i)ⁿ + (1 + i)²ⁿ + 16i = 0.
17. (UEFS-93.2) - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), calcule os valores de m e n.
18. A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a (-8 - 6i). Calcule 19. (FESP/UPE) - Seja z = 1+ i , onde i é a unidade imaginária. Calcule a potência  z⁸.

20. (UCSal) - Sabendo que (1+i)² = 2i, então calcule o valor da expressão y = (1+i)⁴⁸ - (1+i)⁴⁹.

EXERCÍCIOS SOBRE DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS COM SOLUÇÃO

EXERCÍCIOS SOBRE DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

QUESTÃO 1

Determine o valor do quociente dos números complexos z₁ e z₂, sabendo que z₁ = 2 – 3i e z₂ = – 1 + 2i.

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QUESTÃO 2

Escreva, na forma complexa z = a + bi, o número complexo:

z = (5 + 2i) . (2 – i)
   3 + i

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QUESTÃO 3

(Cefet – PR) A expressão , na qual i é a unidade imaginária, é igual a:

a)  1 - i  -     2i   
     1 + i    1 + 3i

b) 3 + i
       2

c) 1 + 2i

d) – 1 – 2i

e) 2 + 4i
        5

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QUESTÃO 4

(UFRS) A forma a + bi de z = 1 + 2i é:
                                                 1 - i

a) 1 + 3 i
    2    2

b) - 1 + 3 i
       2    2

c) - 1 + 2 i
       2    3

d) - 1 - 2 i
       2   3

e)  1 - 3 i
     2    2

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RESPOSTAS

Questão 1

Representando esse quociente como fração, temos z₁ como numerador e z₂ como denominador. Para determinar o quociente, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado deste. Temos então:

z₁ =   2 – 3i 
z₂    – 1 + 2i

z₁ =   (2 – 3i ) . (– 1 – 2i)  
  z₂      (– 1 + 2i) . (– 1 – 2i)   

z₁ = – 2 + 3i – 4i + 6.i²
z₂         (– 1)² – (2i)²      

z₁ = – 2 + 3i – 4i – 6
z₂          1 – (– 4)       

z₁ = – 8 – i
z₂         5    

Portanto, o quociente entre os complexos z₁ e z₂ é - 8 - i.
                                                                                      5

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Questão 2

Primeiramente, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação no numerador da fração:

z = 10 + 4i – 5i – 2i²
     3 + i

z = 10 – i – 2.(– 1)
    3 + i

z = 10 – i + 2
    3 + i

Números Complexos – Exercícios com respostas

Números Complexos – Exercícios

01. O produto (5 + 7i) (3 – 2i) vale: 

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a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 – 11i
e) 29 + 31i

02. Se f(z) = z² – z + 1, então f(1 – i) é igual a:

a) i
b) -i + 1
c) i – 1
d) i + 1
e) -i

03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i² = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + i)⁴ é um número real?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos

04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i¹⁰ + i^-100 é:

a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1

05. Sendo i a unidade imaginária, (1 – i )^-2 é igual a:

a) 1
b) -i
c) 2i
d) -i/2
e) i/2

06. A potência (1 – i )¹⁶ equivale a:

a) 8
b) 16 – 4i
c) 16 – 16i
d) 256 – 16i
e) 256

07. Se os números complexos z1 = 2 – i e z2 = x + i, x real e positivo, são tais que |z₁ . z₂|² = 10 então x é igual a:

a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1

08. O módulo do complexo cos a – i . sen a é:

a) -1
b) -i
c) i
d) i4
e) i5

09. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 – 12i.

10. Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x⁸ – 17x⁴ + 16 = 0.

Respostas:

01. C	02. E	03. C	04. A
05. E	06. E	07. E	08. D

09. 3 – 2i; -3 + 2i

10. V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}