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Introdução ao Estudo de Matemática Comercial e Financeira

Prof. Mauro Cinosi

 

1. Números Proporcionais
2. Médias
3. Regra de Sociedade
4. Regra de Três
5. Porcentagens
6. Juros Simples
7. Juros Compostos
    
    
   Números Proporcionais
   Proporções – O resultado da comparação entre duas grandezas recebe o nome de razão: ¾  ou 3:4
    
   Se 16/8 = 2 e 10/5 = 2, podemos dizer ambas frações formam um proporção, isto é:
   16/8 = 10/5
   Dada uma proporção: a/b = c/d diz-se que d é a quarta proporcional.
   Os extremos da proporção são 16 e 5 e os meios são 8 e 10.
   Daí tiramos a propriedade fundamental da proporção: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Ou seja, na proporção dada temos: 16x5 = 8x10.
   Exercícios: Calcular x nas proporções:
    
   1)  x/8 = 15/5                2) x/6 = 8/12                   3) 0,75/0,25=1,5/x

                     4) 12/6 = x/4                 5) 24/6 = x/4                   6) 0,8:1,2 :: x:0,75

Resp.: 1) 24; 2) 4; 3) 0,5  4) 8;  5) 16;  6) 0,5

 

              Médias

               Média Aritmética de n números é o quociente da divisão da soma desses números por n.

           Ex. Achar a média aritmética dos números 5, 7 e 9.

          Ma = 5+7+9 = 21 = 7

                        3           3

           Exercícios: Calcular a média aritmética dos números:

1. 9, 11, 20 e 10                          3) 3,4; 4,6 e 5,8
2. 7/8, 5/6, 3/3 e ½                   4) 2 1, 7 e 1,25
                                                                                              2  8

                         5) Mistura-se a mesma quantidade de vinho de R$ 62,00, R$ 45,00 e de R$ 37,00 o quinto. Por  
                              quanto se deve vender cada quinto da mistura?

                                  Significado de Quinto: Quinto também pode significar uma medida de capacidade,
                                       correspondente á cerca de 80 litros. Exemplo do uso da palavra Quinto: O quinto é normalmente usado por produtores de vinho.

Resp.: 1) 12,5; 2) 12,8;  3) 4,6   4) 47/24;  5) R$ 48,00.

                    Média Aritmética Ponderada

                    Ao tirarmos uma média aritmética de várias quantidades, devemos levar em consideração certas 
             circunstâncias que influem nos valores dessas quantidades. Para calcularmos a média ponderada,
             multiplicamos os números pelos respectivos pesos e dividimos a soma desses produtos pela soma dos pesos.

             Ex. Calcular a média ponderada dos números 15, 20 e 32, atribuindo-lhes respectivamente os pesos 4, 3 e 2.

 

                 Mp = 15x4+20x3+32x2 = 60+60+64 = 184 = 20,44

                                    4+3+2                      9               9

 

              Exercícios:

1. Qual  será a média ponderada dos números 3, 5, 4 e 2, atribuindo-lhes respectivamente os pesos 1, 2, 3 e 4?

Resp.: 3,3

1. Achar a média ponderada dos números 47, 32, 28, atribuindo-lhes respectivamente os pesos 4, 5 e 6.
   Resp.: 34,4
2. Misturando-se 12 litros de vinho de US$ 0,25 com 38 litros de US$ 0,75 qual será o preço do litro da mistura?
   Resp.: US$ 0,63
3. Achar a média ponderada dos números 40, 50, 60. 70 e 90, atribuindo-lhes respectivamente os pesos 1, 2, 3, 4  e 5.
   Resp.: 70
   Média Harmônica
   Calculamos a média harmônica de n números a, b, c, ..., dividindo n pela soma dos inversos desses números.
    
   Mh =       n         ₌                  
               1 + 1 + 1  ...    
               a     b    c  
    
   Exemplo: Calcular a média harmônica dos números 2, 3 e 4.
    
   Mh =         n            =  3  = 2,76
               1 + 1 + 1        13
               2     3    4        12
    
   Exercícios:
   Calcular a média harmônica dos números:

1. 4, 5, 6 e 6. Resp.: 5 5               2) 2/3, ¾ e 5/6   Resp.: 90/121
                                    47
    
   Média Geométrica ou Proporcional
   É igual a raiz quadrada do produto desses números.
    
   A média geométrica entre 6 e 24 é Mg =  = 12
    
   Exercícios: Achar o valor de x nas proporções:

1. 8/x = x/32  Resp.: 16   2) x/7 = 37/x  Resp.: 16,09             3) 0,3/x = x/1,2   Resp.:  0,6
2. Achar a média geométrica de 10 e 16,9.          Resp.: 13
    
    
   Grandezas Proporcionais
   Duas grandezas são diretamente proporcionais, ou simplesmente proporcionais, quando aumentando ou diminuído o valor de uma delas um certo número de vezes, o valor da outra também aumenta ou diminui esse mesmo número de vezes.
   Exemplo. Se 5m de seca custam R$ 100,00
                          15m custarão R$ 300,00 e 45m custarão R$ 900,00.
   Duas quantidades são inversamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo o valor de uma delas de um certo número de vezes, o valor da outra diminui ou aumenta desse mesmo número de vezes.
   Assim, se 6 operários fazem um serviço em 18 dias, 3 operários o farão em 36 dias, 12 operários farão em 9 dias.
    
    
   Divisão em Partes Proporcionais
    
   Dividir um número em partes proporcionais a outros números dados, é procurar parcela desse número que sejam proporcionais aos números dados, e que, somados, reproduzam o número.
   Ex. Dividir 720 em partes proporcionais aos números 2, 3 e 4.
   Some 2+3+4 = 9. Divida 720 por nove e se obtém 80 (fator de multiplicação). Multiplique 2 x 80 = 160; 3 x 80 = 240; e 4 x 80 = 320. Conferindo: 160 + 240 + 320 = 720.
    
   Exercícios:

1. Dividir 540 em partes proporcionais aos números 1, 2 e 3.                                  Resp.: 90, 180, 270.
2. Dividir 840 em partes proporcionais aos números 2/3, ½, 5/6                                          Resp.: 280, 210 e 350
3. Dividir R$ 12,00 em partes proporcionais aos números 3/5, 3/2 e 0,9  Resp.: R$ 2,40; R$ 6,00 e R$ 3,60.
4. Um senhor deixa uma herança de R$ 30.000.000,00 a ser repartida entre 3 filhos, proporcionalmente a suas idades, que são: 3 anos, 4 anos e 5 anos. Quanto cada um herdará sabendo que  a mãe falecera e os filhos herdaram a quantia por cabeça na proporção de suas idades, conforme testamento?
   Resp.: R$ 7.500.000,00, R$ 10.000.000,00 e R$ 12.500.000,00.
5. Na liquidação de uma falência apura-se um ativo de R$ 24.000,00, e um passivo constituído pelas seguintes dívidas: a A, R$ 16.000,00, a B, R$ 24.000,00 e a C, R$ 20.000,00. Quanto receberá cada um dos credores?                                                                  Resp.: R$ 6.400,00; R$ 9.600,00 e R$ 8.000,00.
6. Dividir 6.500 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.    Resp.: 3.000; 1.500 e 2.000
7. Dividir 927.200 em partes inversamente proporcionais aos números 2/3, 4/5 e ½.
                                                                                                      Resp.: 292.800; 244.000 e 390.400.
8. Dividir 353.532 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 7/4, ¾ e 1,3.
   Resp.: 55.692; 63.648; 148.512 e 85.680.
    
    
    
   Regra de Sociedade
    
   É justo que em uma sociedade os lucros e prejuízos sejam distribuídos entre os vários sócios, proporcionalmente aos capitais empregados e ao tempo durante o qual estiveram empregados na constituição dessa sociedade. Ela poderá ser simples ou composta.
    
   Regra de Sociedade Simples
    

1. Quando os capitais são diferentes e os tempos iguais, os lucros ou os prejuízos serão proporcionais aos capitais. Confira no exemplo:
   Exemplo: Duas pessoas formam uma sociedade e lucraram R$ 25.000,00. O primeiro entrou com R$ 70.000,00 e o segundo com R$ 55.000,00. Qual foi o lucro de cada um?
            25.000    = 25.000  = 0,2  { x = 0,2 x 70.000 = 14.000
   7.000 + 5.500    12.500             {y = 0,2 x 55.000 = 11.000
    
2. Quando os capitais são iguais e os tempos diferentes, dividem-se os lucros ou os prejuízos em partes proporcionais aos tempos. Veja o exemplo:
   Exemplo: Ana, Beto e Carla associaram-se, entrando cada um com o capital de R$ 15.000,00 e tiveram um prejuízo de R$ 750,00. Ana ficou na sociedade 8 meses; Beto 7 meses e Carla 10 meses. Qual foi o prejuízo de cada um?
   Somando-se os meses temos 8+7+10 = 25. Dividindo o prejuízo de 750 por 25 temos o fator igual a 30.
   Multiplicando-se esse fator pelo o tempo que cada um ficou na sociedade teremos as parcelas de prejuízo suportadas por cada um dos sócios. Assim: 8x 30 = 240 cabe a Ana; 7 x 30 = 210 cabe a Beto e 10 x 30 = 300 cabe a Carla.
    
    
   Regra de Sociedade Composta
    
   Quando os capitais e os tempos forem diferentes,  os lucros ou os prejuízos serão proporcionais aos capitais multiplicados pelos tempos respectivos.
   Exemplo:  Três sócios lucram juntamente R$ 21.500,00. O primeiro entrou com R$ 7.000,00 durante 1 ano; o segundo com R$ 8.500,00 durante 8 meses e o terceiro com R$ 9.000,00 durante 7 meses. Qual foi o lucro de cada um?
   Dividindo os 21.500 em partes proporcionais aos produtos dos capitais pelos tempos respectivos temos:
   7.000x12 = 84.000
   8.500x8 = 68.000
   9.000x7 = 63.000
       Quando os parâmetros não são primos entre si, podemos simplificá-los, dividindo-os pelo MDC, o que traz grande vantagem para o cálculo. Logo, dividindo todos por 1.000, ficam os parâmetros 84, 68, e 63. Que somados dão o total de 215.
   Dividindo o lucro de 21.500 pelos 215 temos como resultado 100. Multiplicando-se esse valor pelos três parâmetros teremos os lucros de cada: 8.400, 6.800 e 6.300.
    
   Exercícios:

1. Dois sócios lucraram R$ 2.760,00. O primeiro entrou para a sociedade com R$ 1.800,00 e o segundo com R$ 2.100,00. Qual o lucro de cada sócio?
   Resp.: R$ 1.273,00 e R$ 1.486,00.
    
2. Três pessoas formaram uma sociedade com o capital de R$ 2.000,00 e lucraram R$ 800,00. Calcular a entrada de cada sócio, sabendo que ao primeiro coube R$ 240,00; ao segundo R$ 360,00 e ao terceiro R$200,00.                                                                                             Resp.: R$ 600,00; R$ 900,00 e R$ 500,00
3. Três homens compraram um terreno de 5.400 m². Qual é a porção de cada um se o primeiro entrou com R$ 80.000,00, o segundo com R$ 100.000,00 e o terceiro com R$ 120.000,00?
   Resp.: 1.440 m²; 1.800 m² e 2.160m².

 

 

Regra de Três Simples

Constituem regra de três os problemas que envolvem pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais. Sendo regra de três simples direta e regra três simples inversa. Envolvem dois pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais.

 

Exemplo 1 – Comprei 36 kg de café por R$ 2.100,00. Quantos kg compraria com R$ 3.150,00?

             

 

Kg          preço                  É direta porque com mais dinheiro comparemos mais café.

              36    2100                    36= 2100      x = 36x3150 = 54

              X       3150                    x     3150                 2100

 

Exemplo 2 – Com a velocidade de 75 km/h um automóvel percorre, em 8 horas, certo percurso. Em quanto tempo ele percorreria se a velocidade fosse 60 km/h?

              A  75 km/h demora 8h

A 60 km/h demora x                    É inversa pois diminuindo a velocidade aumenta-se o tempo gasto.

Km        h

              75    8                          60 = 8      x = 75x8 = 10 horas

              60    x                           75    x               60 

 

Regra de Três Composta

 

Quando existem mais de dois pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais.

Ex. 20 operários em 10 dias de 8 horas, tecem 16.000m de certo tecido. Quantos dias de 10 horas seriam necessários para 16 operários, cuja atividade  é o dobro da dos primeiros , tecerem 32.000m de outra fazenda, cuja dificuldade  são os 4/5 da primeira?

Listamos os dados conforme o problema os apresenta, tendo o cuidado de colocar as grandezas  de mesma natureza uma debaixo da outra.

 

1. op.                        10d                      8h                        16.000m                           1 at.      1 dif.

16 op.                          Xd                        10h                      32.000m                           2 at.               4/5 dif.

inversa                                                          inversa               direta                                inversa               direta

Relacionando cada par de grandezas com 10/x, teremos cinco problemas de regra de três simples que se encadeiam assim:

 

10 = 16 x 10 x 16.000 x 2 x 1       ↔         10 = 5   ↔         x = 8

X      20 x 8 x 32.000 x 1 x 4/5                    x      4                                                                                                      Resp. 8 dias

 

Exercícios.

1. 5 rapazes ganharam R$ 6.800,00. Quanto ganhariam 28 rapazes:                                      Resp. R$ 38.080,00
2. 20 operários fazem um trabalho em 18 dias; quantos operários seriam necessários para fazer o mesmo serviço em 12 dias?                                                                                                                                            Resp. 30.
3. Um trem percorre certa distância em 8 horas, com a velocidade  de 60 km por hora. Quanto tempo levaria para fazer o mesmo percurso com a velocidade de 50 km por hora?                                Resp. 9h 36min.
4. Um navio tem víveres para uma viagem de 15 dias. Devido a uma acidente qualquer, logo no início da viagem, esta tem de ser retardada de 5 dias. A quanto tem de ser reduzida a ração de cada tripulante?
                                                                                                                                   Resp. Tem de ser reduzida a ¾.
5. 1 Libra vale R$ 3,80. Qual será o valor de 52,15 Libras.                                                          Resp. R$ 198,17
6. 5 operários fazem um serviço em 8 dias. Se se contratassem mais 3 operários, em quantos dias ficaria pronto o serviço?                                                                                                                                  Resp. 5 dias.
7. Em cada 100 alunos foram reprovados 25. Em uma classe de 48 alunos, qual foi o número de reprovados?
                                                                                                                                                                             Resp. 12
8. Uma torneira enche um tanque em 3 horas, outra o vazaria em 4 horas. Abertas as duas torneiras, em quanto tempo ficaria o tanque cheio?                                                                                               Resp. 12 horas.
9. 15 operários , em 9 dias de 8 horas, ganham R$ 10.800,00. Quanto ganhariam 23 operários em 12 dias de 6 horas?                                                                                                                                                        Resp. R$ 16.560,00
10. 5 homens, em 8 dias, ganham R$ 4.800,00. Quantos dias seriam necessários para 9 homens ganharem R$ 23.760,00?                                                                                                                                          Resp. 22 dias.
11. 14 operários, trabalhando 10 dias de 8 horas, fazem 56.000m de certo tecido. Quantos dias de 6 horas serão necessários a 9 operários para fazerem 32.400m do mesmo tecido?                             Resp. 12 dias.
12. Um viajante quer fazer em 8 dias o trajeto já feito em 12 dias de 10 horas. Quantas horas deverá andar por dia, se aumentou de 2/5 a sua velocidade?                                                Resp. 10h 42min 51 segundos.
13. 18 operários, em 24 dias, fizeram 3.240 m de pano. Quantos dias levarão 20 operários para fazerem 2.040m, se os primeiros são 3 vezes mais ativos que os segundos?                                     Resp. 40,8 dias
14. Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1.000m de um tecido. Quantos dias de 6 horas levaria para fazer 2.000m de outro tecido que apresenta dificuldade  igual a ¾ da primeira?            Resp 20 dias.
     
    Porcentagens
    Chama-se porcentagem ou percentagem à porção de um da do valor, que se determina sabendo-se o quanto corresponde a cada 100. Quando dizemos quinze por cento de um certo valor, queremos dizer que em cada 100 partes desse valor tomamos 15 partes.
    A expressão quinze por ceto, que se representa por 15%, chama-se taxa de porcentagem. Uma fração, pois, expressa com o denominador 100 seria uma porcentagem; e o seu numerador é a taxa de porcentagem.
    Assim , na razão 8/100 a taxa de porcentagem é 8. Escreve-se 8%, e lê-se oito por cento.
    Calcular 8% de R$ 1.200,00. Formamos uma regra de três simples.
     
                  100        8            100:1.200:: 8:x ↔ x = 1.200x8  = 96
                  1.200    x                                                       100                                                                Resp. R$ 96,00
    Fórmula Para obter as fórmulas resolvemos o seguinte problema literal.
    Calcular a porcentagem p, à taxa i, sobre a quantia P(principal).
    Cálculo da porcentagem             p = Pi
    Cálculo do principal                     P = p
                                                                    I
    Cálculo da taxa                             i = p
                                                                  P
    Aplicações: 1) Um negociante compra R$ 25.000,00 de mercadorias e quer lucrar 30%. Calcular o lucro desse negociante.
    p = Pi = 25000x0,30 = 7500                                                                                                            Resp. R$ 7.500,00
     
    2) Um negociante vendeu mercadorias com um lucro de R$ 3.900,00, correspondente a 30% do valor das mesmas. Quanto lhe custaram as mercadorias?
    P = p = 3900 = 13000                                                                                                                               Resp. R$ 13.000,00
           i      0,3
    3)  Comprei um relógio por R$ 320,00 e o vendi com um lucro de R$ 40,00. De quanto por cento sobre o preço de custo foi o meu lucro?                                                                                                                                          Resp. 12,5%
     
    Exercícios

1. Calcular a)8% de 432         b) 7 3% de 935  c) 6% de 18        d)9% de 0,847   e) 5%o de 487    f) 2/3% de 12.
                                                          4                 
                                                                                                          Resp. 34,56;  72.462.5; 1.08; 0,076.23; 2,435 e 0,08
2. Quantos por cento serão a) 17 de 340; b) 30 de 120; c) 16 de 20; d) 40 de 200; e) 20 de 100; f) 5 de 80.
                                                                                                                         Resp. 5%, 25%, 80%, 20%, 20% e 6,25%.
3. Calcular os números cujos:a ) 5% são 30; b) 8,5% são 68; c) ½% são 40; d)8% são 36; e) 10% são 42; f) 3% são 1,728.
                                                                                                                         Resp. 600, 800, 8.000, 450, 420 e 57,6
4. Um vendedor trabalha nas seguintes condições: ganhar 5% sobre os lucros das vendas realizadas. Quanto ganhou ele em um mês em que as vendas atingiram R$ 45.000,00, dando um lucro de 30%? Resp. R$ 675,00.
5. Calcular o principal, quando corresponde: a) 5% a 40?  b) 6% a 54?  c) 8,5% a 85?  d)  7% de 56? e) 3%o a 36? f) 4%o a 50?                                                                                      Resp. 800; 900; 1.000; 800; 12.000; e 12.500
6. Um vendedor é contratado na seguintes condições: ganhar 3% sobre os 30% de lucros auferidos pela empresa, na venda de suas mercadorias. Qual será seu ordenado em um mês em que vendeu R$ 40.000,00?
                                                                                                                                                         Resp. 360,00
7. Um negociante vendeu mercadorias compradas a R$ 2.000,00 por R$ 2.500,00. De quanto por cento foi seu lucro sobre o preço de compra e sobre o preço de venda?                                                Resp. 25% e 20%.
8. Calcular o abatimento que se faz sobre a venda de R$ 250,00 de pneu, quando se concede um desconto de 20% e mais 5%.                                                                                                                      Resp. R$ 60,00
9. Em uma cidade , 35% dos habitantes são homens, e os restantes  26.000, mulheres. Qual a população da cidade?                                                                                                                                            Resp. 40.000
10. 20% dos alunos de uma classe de 40 foram reprovados. Quantos foram promovidos?     Resp. 32
11. Sobre uma fatura de R$ 180,00 tive um abatimento de 30%. Quanto paguei?           Resp R$ 126,00
     
    Juros Simples
    Ao emprestarmos certa quantia a uma pessoa, é justo recebermos com a quantia emprestada mais outra quantia que representa o aluguel pago pelo empréstimo. A quantia emprestada representa o capital, o aluguel os juros.
    Logo, juro é o prêmio que se paga por um capital emprestado.
    Assim se uma pessoa empresta a outra a quantia de R$ 100,00 e no final de um ano recebe além da quantia emprestada mais R$ 12,00, como prêmio desse empréstimo, diremos que esses R$ 12,00 representam o juro do capital emprestado. Observamos que R$ 12,00 corresponde a 12% de ser valor em um ano.
    Deste modo, o juro produzido na unidade de tempo chama taxa de juro.
    Utilizando uma regra de três  para calcular os juros do capital C, à taxa i, no tempo t, temos a fórmula:
    J = Cit, se o tempo for expresso em anos utiliza-se t, se for  em meses t/12 e se for em dias t/360.
     
    Aplicações

1. Calcular os juros de R$ 5.200,00 a 6% a.a. em 4 anos.
   J = Cit = 5200x0,06x4 = 1248                                                                                                    Resp R$ 1.248,00
2. Qual o tempo necessário para R$ 6.000,00, a 5% a.a, renderem R$ 900,00 de juros?
   J = Cit ↔        t =  J      =            900        = 3                                                                                           Resp 3 anos
                                 Ci         6000 x 0,05    
3. A que taxa devemos colocar o capital de R$ 10.000,00 para , em 2 anos, 6 meses e 10 dias termos o total de R$ 1.137,50 de juros?
                                                         2a 6m e 10d = 910 dias
   J = Cit ↔ i =  J = 360x1137,5= 0,045 = 4,5%                                                                        Resp 4,5% a.a.
                          Ct     10000x610
    
   Montante  -  Em certos problemas  de juros simples, aparece o capital somado com os juros. A essa soma de capital e juros, damos o nome de montante. Portanto M = C + J.
   Substituindo a fórmula de juros na de montante obtemos M = C( 1 + it) e J = Mit  
                                                                                                                                            1+ it
   Aplicações:

1. Coloquei uma certa quantia em um banco, a 5% a.a. e recebi R$96,00 depois de 4 anos. Calcular os juros.
    J = Mit   = 96x0,05x4 = 19,2 = 16                 { i =    5 = 0,05                  Resp R$ 16,00
         1+ it     1+0,05x4       1,2                                  100              
2. Emprestei uma certa quantia a 8% a.a. e recebi R$ 60,00, depois de 2a 6m.Qual foi a quantia emprestada?             2a e 6m = 30 meses
   M = C( 1 + it)         C =       M =                    60 = 60 = 50                        Resp R$ 50,00
                                        ( 1 + it)  1+0,08x30/12  1,2
   Exercícios

1. Calcular os juros anuais de R$ 100,00 a 6% a.a.                                                   Resp R$ 6,00
2. Calcular os juros mensal de R$ 8.000,00 à taxa de 10% a.a..                            Resp R$ 66,67
3. Calcular o juro anual de R$ 50,00 a 3/4 % mensais.                                            Resp R$ 4,50
4. Calcular o juro mensal de R$ 60,00 a 5/6% mensais.                                          Resp  R$ 0,50
5. Qual é o rendimento de R$ 600,00 a 5% a.a. , em 2 a 6m                                  Resp R$ 75,00
6. R$ 28,80 renderam durante um certo tempo R$ 6,00 à taxa de 5% a.a. determinar esse tempo.                                                                                                                                      Resp. 4a e 2m.
7. Calcular os juros de R$ 14.400,00 à taxa de 6% a.a, de 16 de março a 3 de agosto do mesmo ano. (ano civil = 365 dias, se o ano for bissexto conta-se 366 dias)                                     Resp R$ 336,00
8. Quais os juros de R$ 122,00 à taxa de 8% a.a., de 10 de janeiro a 9 de maio (ano civil e bissexto). Resp R$ 3,20.
9. Qual o capital que, à taxa de 9% a.a, produz R$ 10,80 em 2 anos?                 Resp R$ 60,00
10. Qual o capital que a 4% a.a., em 40 dias produz o montante de R$ 72,32?            Resp R$ 72,00