Exercícios sobre Números Complexos com respostas

lista de exercícios

1 - Calcule o número complexo i¹²⁶ + i^-126 + i³¹ - i¹⁸⁰

2 - Sendo z = 5i + 3i² - 2i³ + 4i²⁷ e w = 2i¹² - 3i¹⁵, calcule Im(z).w + Im(w).z . 

3 - UCMG - O número complexo 2.O, tal que 5z + Ō = 12 + 6i é: 

4 - UCSal - Para que o produto (a + i). (3 - 2i) seja real, a deve ser: 

5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é: 

6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i² + i³ + ... + i¹⁰⁰¹ é: 

7 - Determine o número natural n tal que (2i)ⁿ + (1 + i)²ⁿ + 16i = 0.   Resp: 3

8 - Calcule [(1 + i)⁸⁰ + (1 + i)⁸²] : i⁹⁶.2⁴⁰.   Resp: 1 + 2i

9 - Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi , sabendo-se que z + w é um número real e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b² - 2a.   Resp: 50

10 - Se o número complexo z = 1 - i é uma das raízes da equação x¹⁰ + a = 0 , então calcule o valor de a.  Resp: 32i

11 - Determine o número complexo z tal que i.O + 2.Ō + 1 - i = 0. 

12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x^-1 + x², para x = 1 - i, é:
a) -3i       b) 1 - i       c) 5/2 + (5/2)i       d) 5/2 - (3/2)i       e) 1/2 - (3/2)i 

13 - UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i⁷ + i⁵ + ( i³ + 2i⁴ )² , obtêm-se:
a) -1 + 2i       b) 1 + 2i       c) 1 - 2i       d) 3 - 4i       e) 3 + 4i 

14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10       b) 5 e 10       c) 7 e 9       d) 5 e 9       e) 0 e -9 

15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö13      b) 7       c) 13       d) 7       e) 5 

16 - FESP/UPE - Seja z = 1 + i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z⁸ é igual a:
a) 16       b) 161       c) 32       d) 32i       e) 32 + 16i 

17 - UCSal - Sabendo que (1 + i)²² = 2i, então o valor da expressão
y = (1 + i)⁴⁸ - (1 + i)⁴⁹ é:
a) 1 + i       b) -1 + i       c) 2²⁴ . i       d) 2⁴⁸ . i       e) -2²⁴ . i

Resposta:
1) -3 - i 
2) -3 + 18i 
3) 4 + 3i 
4) 3/2 
5) -2 + 18i 
6) i 
7) 3 
8) 1 + 2i 
9) 50 
10) 32i 
11) -1 - i 
12) B 
13) D 
14) A 
15) A 
16) A 
17) E Fonte: Outros exercícios: http://www.pucrs.br/famat/augusto/calculo_avancado_A/exerc1.pdf

LISTA DE EXERCÍCIOS – OPERAÇÕES COM COMPLEXOS

LISTA DE EXERCÍCIOS – OPERAÇÕES COM COMPLEXOS

1.  Calcule as seguintes somas:

             a) (2 + 5i) + (3 + 4i)                                                         b) i + (2 - 5i)

2.  Calcule as diferenças:

        a) (2 + 5i) - (3 + 4i)                                                          b) (1 + i) - (1 - i)

3.  Calcule os seguintes produtos:

        a) (2 + 3i) (3 - 2i)                                                             b) (1 + 3i) (1 + i)

4.  Escreva os simétricos dos seguintes números complexos:

        a) 3 + 4i         b) -3 + i                         c) 1 - i                              d)  -2 + 5i

5.  Escreva os conjugados dos seguintes números complexos:

        a) 3 + 4i                                                                                              b) 1 - i

      

6.  Efetue as seguintes divisões de números complexos:

        a)       -10+15i                                               b)    1+3i
                     2 - i                                                         1 + i  

7.  Calcule as potências:

        a)     (1 + i)²                                              b)    (-2 + i)²

8.  Sendo z = (m² - 5m + 6) + (m² - 1).i, determine m de modo que z seja um imaginário puro.

9.  Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)¹² .

10. Calcule o número complexo i¹²⁶ + i^-126 + i³¹ - i¹⁸⁰

11. Sendo z = 5i + 3i² - 2i³ + 4i²⁷ e w = 2i¹² - 3i¹⁵ , calcule Im(z).w + Im(w).z .

12. (UCMG) - O número complexo 2z, tal que 5z + = 12 + 6i é:

13. (UCSal) - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real qual deve ser o valor de “a”?

14. (UFBA) - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , calcule o valor de a.c + b.

15. (Mackenzie-SP) – Calcule o valor da expressão y = i + i² + i³ + ... + i¹⁰⁰¹.

16. Determine o número natural n tal que (2i)ⁿ + (1 + i)²ⁿ + 16i = 0.
17. (UEFS-93.2) - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), calcule os valores de m e n.
18. A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a (-8 - 6i). Calcule 19. (FESP/UPE) - Seja z = 1+ i , onde i é a unidade imaginária. Calcule a potência  z⁸.

20. (UCSal) - Sabendo que (1+i)² = 2i, então calcule o valor da expressão y = (1+i)⁴⁸ - (1+i)⁴⁹.

EXERCÍCIOS SOBRE DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS COM SOLUÇÃO

EXERCÍCIOS SOBRE DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

QUESTÃO 1

Determine o valor do quociente dos números complexos z₁ e z₂, sabendo que z₁ = 2 – 3i e z₂ = – 1 + 2i.

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QUESTÃO 2

Escreva, na forma complexa z = a + bi, o número complexo:

z = (5 + 2i) . (2 – i)
   3 + i

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QUESTÃO 3

(Cefet – PR) A expressão , na qual i é a unidade imaginária, é igual a:

a)  1 - i  -     2i   
     1 + i    1 + 3i

b) 3 + i
       2

c) 1 + 2i

d) – 1 – 2i

e) 2 + 4i
        5

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QUESTÃO 4

(UFRS) A forma a + bi de z = 1 + 2i é:
                                                 1 - i

a) 1 + 3 i
    2    2

b) - 1 + 3 i
       2    2

c) - 1 + 2 i
       2    3

d) - 1 - 2 i
       2   3

e)  1 - 3 i
     2    2

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RESPOSTAS

Questão 1

Representando esse quociente como fração, temos z₁ como numerador e z₂ como denominador. Para determinar o quociente, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado deste. Temos então:

z₁ =   2 – 3i 
z₂    – 1 + 2i

z₁ =   (2 – 3i ) . (– 1 – 2i)  
  z₂      (– 1 + 2i) . (– 1 – 2i)   

z₁ = – 2 + 3i – 4i + 6.i²
z₂         (– 1)² – (2i)²      

z₁ = – 2 + 3i – 4i – 6
z₂          1 – (– 4)       

z₁ = – 8 – i
z₂         5    

Portanto, o quociente entre os complexos z₁ e z₂ é - 8 - i.
                                                                                      5

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Questão 2

Primeiramente, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação no numerador da fração:

z = 10 + 4i – 5i – 2i²
     3 + i

z = 10 – i – 2.(– 1)
    3 + i

z = 10 – i + 2
    3 + i

Números Complexos – Exercícios com respostas

Números Complexos – Exercícios

01. O produto (5 + 7i) (3 – 2i) vale: 

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a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 – 11i
e) 29 + 31i

02. Se f(z) = z² – z + 1, então f(1 – i) é igual a:

a) i
b) -i + 1
c) i – 1
d) i + 1
e) -i

03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i² = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + i)⁴ é um número real?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos

04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i¹⁰ + i^-100 é:

a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1

05. Sendo i a unidade imaginária, (1 – i )^-2 é igual a:

a) 1
b) -i
c) 2i
d) -i/2
e) i/2

06. A potência (1 – i )¹⁶ equivale a:

a) 8
b) 16 – 4i
c) 16 – 16i
d) 256 – 16i
e) 256

07. Se os números complexos z1 = 2 – i e z2 = x + i, x real e positivo, são tais que |z₁ . z₂|² = 10 então x é igual a:

a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1

08. O módulo do complexo cos a – i . sen a é:

a) -1
b) -i
c) i
d) i4
e) i5

09. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 – 12i.

10. Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x⁸ – 17x⁴ + 16 = 0.

Respostas:

01. C	02. E	03. C	04. A
05. E	06. E	07. E	08. D

09. 3 – 2i; -3 + 2i

10. V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}

Jovem de 26 anos é recordista de nomeações em concursos públicos.

Jovem de 26 anos é recordista de nomeações em concursos públicos

Aos 17 anos Kalebe começou a fazer concursos. Em 5 anos fez 29 provas. Foi nomeado para 10 cargos. Hoje, aos 26 , é Oficial de Justiça do TRT na 6ª Região

18/11/2016 09:00 | Atualização: 18/11/2016 09:32

Beatriz Fidelis - Especial para o Correio

Kalebe Dionísio fez 29 concursos públicos em cinco anos. Aos 22 anos foi nomeado Oficial de Justiça."Ser aprovado é fácil, difícil é o sacrifício que a aprovação requer." Esse é o mote do gênio dos concursos, recordista em nomeações, Kalebe Lael Costa Dionísio. De João Pessoa, capital da Paraíba, para todo o Brasil. É esse o perfil do jovem que aos 22 anos de idade já era servidor Tribunal Regional do Trabalho na 6ª Região. Hoje, aos 26 anos, Kalebe é o jovem com maior número de nomeações em concursos públicos federais segundo o ranking RankBrasil. No total, foi selecionado em 10 cargos.

História de Sucesso

A saga de Kalebe começou em 2008 e foi até 2013, quando finalmente foi aprovado para a carreira dos sonhos, o cargo de Oficial de Justiça no Tribunal Regional do Trabalho do estado da Paraíba. Começou os estudos aos 17 anos, enquanto esperava o resultado do vestibular para o curso de Direito na Universidade Federal da Paraíba. Na época, se inscreveu para dois concursos no mesmo dia, ambos de nível médio: pela manhã o TRF da 5ª Região e no período da tarde o INSS. Segundo ele, foi um erro que cometeu, porque os concursos tinham editais bem diferentes. Mas dessa experiência ele tirou bons aprendizados.

 Motivado inicialmente pela necessidade de ajudar nas contas de casa e estimulado de perto pelos pais, que o encorajavam a buscar estabilidade financeira, Kalebe tomou como objetivo de vida ser aprovado em um bom concurso. Em um período de cinco anos fez 29 concursos, mais a prova do vestibular. Desses, foi classificado para 22 e nomeado para dez.

 Kalebe conta que não pensou em desanimar após não ter sido convocado nas primeiras provas: “Continuei fazendo concurso, na verdade, porque eu não tinha sido chamado ainda pra nenhum”. Para ele, o importante é nunca se deixar desanimar: “concurso se faz para passar e até passar”. Segundo ele, é importante que o candidato se prepare para todas as provas que for fazer e eu não desanime até alcançar o cargo sonhado.

 Estratégia Vencedora

Do período em que passou fazendo concursos tirou aprendizados para a vida inteira. Lições essas que hoje ele compartilha no site pessoal, desenhado especialmente quem está se preparando para concursos públicos. “Comecei a fazer o site como hobby, motivacional para concurseiros. Comecei a ouvir muitos concurseiros, dúvidas e questões. Acabei entrando nessa área e criei um curso online”.

 Kalebe conta que criou a própria metodologia de estudos, e é ela que compartilha no curso, voltado para técnicas de estudo para todos os tipos de concursos públicos: “Acabei criando essa metodologia de estudo na base da tentativa e erro, e eu vi que deu certo. O objetivo é ensinar a estudar. Porque tem muita gente que acha que estudar é só pegar uma apostila e ler e assistir uma videoaula”.

 A dica que Kalebe deixa para os concurseiros de plantão é de não desanimar e seguir o seu sonho. “Depois que chegar a um certo nível procura algo que dê prazer. Porque é muito melhor ter vontade de sair de manhã pra trabalhar do que sair se lamentando ou esperar ansiosamente toda semana a sexta feira chegar.”

Aluno de Mogi que gabaritou em matemática dá dicas para o Enem

28/10/2016 06h30 - Atualizado em 28/10/2016 06h30

Aluno de Mogi que gabaritou em matemática dá dicas para o Enem

Felipe Miura conseguiu pontuação 1008,3 em exatas.
Após vestibulares e Enem, estudante pode escolher entre três universidades.

Gladys PeixotoDo G1 Mogi das Cruzes e Suzano

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Com notas do Enem, Felipe pode escolher entre duas faculdades para medicina e passou na Fuvest (Foto: Daniel Miura/Arquivo Pessoal)

Depois de gabaritar em matemática e tirar 1.008,3 em exatas no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) em 2015, Felipe Kenzo Granado Miura agora cursa medicina na Universidade de São Paulo (USP). Para entrar na USP, o jovem de Mogi das Cruzes prestou o vestibular da Fuvest, mas diz que a nota do Enem foi determinante para ele conseguir vaga no mesmo curso na Universidade de Brasília (UNB) e na Universidade Federal de São Paulo (Unifesp).

Mesmo conseguindo a nota máxima, Miura considera que tem matérias mais difíceis que matemática no exame. “No Enem, a matématica é muito básica. Eu acho que tem mais dificuldade em português e, principalmente, redação.”

Ele avalia ainda que na hora de fazer a prova, o candidato deve saber em qual matéria está mais confortável. “A ordem para a realização das matérias varia de acordo com o estudante. Por exemplo, aqueles que se sentirem mais à vontade com a matemática devem deixá-la por último. Eu fiz isso. Porém, o aluno deve avaliar suas dificuldades para ver por onde começar a prova”, destaca Miura.

Mas para conseguir se avaliar, o estudante tem um longo caminho a percorrer até o Enem. A preparação que exige dedicação dos participantes. Mas para Miura, essa preparação precisa ser equilibrada. “Eu não recomendo deixar de lado a vida social e a saúde para se dedicar apenas a estudar, acho que isso prejudica mais que ajuda. Eu tenho amigos que radicalizaram e foram muito mal.” 

Felipe diz que não deixou de lado a academia e nem as baladas para estudar. “Eu fazia o ensino médio de manhã e ficava algumas horinhas depois da aula na escola estudando com os meus amigos. À noite eu não estudava, eu ia para academia com o meu pai e saia aos finais de semana”, comenta. Além do Enem, o estudante recomenda que os alunos invistam em vestibulares também. “Quem quer entrar em uma boa faculdade deve focar também em vestibulares como a Fuvest, o ITA e a FGV.”

Depois de passar na Fuvest, Felipe faz medicina
na USP (Foto: Maiara Barbosa/ G1)

Vida de estudante
Depois de se dedicar ao Enem, Felipe Miura escolheu cursar medicina na USP e agora a rotina de estudos é mais pesada do que nos preparativos para o Enem/Fuvest.

Miura estuda em período integral. “A vida de estudante está bem corrida. Os professores são bem rígidos e fazem com que o meu cotidiano esteja preenchido com estudos. O curso é bem preparado, ainda mais com o currículo novo que implantaram, aliando o contato clínico desde o primeiro ano. Estou gostando muito da medicina.”

Exercícios sobre Geometria Analítica

Geometria Analítica

1)      Represente no plano cartesiano o pentágono convexo cujos vértices são A(0,0), B(3,0), C(4,1), D(4,4,) e E (0,4).

2)      Calcule a distância entre os pontos A e B nos seguintes casos:

a) A(0,3) e B(5,0)             b) A (2,5) e B(-1,1)     c) A(2/3, 1) e B(-2,3/2).

3)      Verifique se o triângulo de vértices A(5,2), B(5,6) e C(9,6) é equilátero, isósceles ou escaleno.

4)       Determine as coordenadas do ponto médio de AB, sendo:

a) A(6,4) e B(1,2)             b) A (-5,3) e B(3,-1)    c) A(1/2,0) e B(2/3,-4)

5)      O triângulo ABC tem vértices A(4,1), B(5,2) e C(2,5).

 Determine: a) as coordenadas do seu  baricentro,  e       b) sua área

6)      O triângulo ABC tem vértices A(4,1), B(5,4) e C(3,4). Considerando o triângulo MNP, em que M, N e P são pontos médios dos lados AB, BC e CA, determine:

a)      O baricentro G 1  do triângulo ABC; e b) o baricentro G 2 do triângulo MNP.

7)      Verifique se os 3 pontos estão alinhados:

a) A(6,4) , B(1,2) e C(0,0)            b) A (-2,3),  B(3,-1) e C (8,-5)            c) A(2,0), B(3,-4) e C(4,-8)

8)      Encontre  a Equação Geral da Reta e  o coeficiente angular da reta que passa por:

a) A(1,3) e B(2,0)             b) A (2,1) e B(-1,1)     c) A(2, -1) e B(-2,7).

9)      Verifique se as retas a seguir são paralelas, perpendiculares ou apenas concorrentes:

a) r:  x – 2y +4 = 0      b) t:  x – 2y +1 = 0      c) v:  5x – y +3 = 0     d) y:  y = 2x - 3

   s:  - 2x  +4y  = 0           u:  2x + y - 11 = 0       x:  x – 10y +4 = 0       z:  y =  2x +2

10)  Encontre a Equação Geral da reta que passa pelo ponto A e possui coeficiente angular m nos seguintes casos:

a) A(1,2) e m = -1       b)  A(0,-1) e m = 5      c) A(-2,3) e m = 2       d) A(-2,-7) e m = 3

1)Calcule a distância entre os pontos: a) A(2,4) e B(9,4).      b) A(-2,1) e B(0,7).     c) A(1,10) e B(-2,-1).

2)  Verifique se os pontos estão alinhados:

a) A(2,7) B (3,9) e C( 0,5)       b) A(1,3) B (0,2) e C( 2,4)        c) A(-1,-1) B (3,3) e C( 0,0)

3) Calcule as coordenadas do baricentro do triângulo cujos vértices são:

a)  A(0,0), B(6,0) e C(0,6).  b)  A(-1,7), B(2,0) e C(4,6).  a)  A(3,2), B(4,1) e C(8,-5).

4) Determine as coordenadas de M, ponto médio de AB, sendo:

a) A(6,4) e B(1,2).  b) A(2,5) e B(0,7). c) A(-4,5) e B(4,6).

 5) Determinar a Equação Geral da Reta que passa por:

a) A(1,3) e B(2,4).  b) A(0,2) e B(1,9).  c) A(-1,-1) e B(2,5).

6) Sabendo que a área de um triângulo é igual à metade do determinante dos seus 3 vértices. Calcule a área do triângulo cujos vértices são: A(0,0), B(4,0) e C(4,2).

7) Obter o ponto de intersecção das retas definidas pelas equações: a) (r )  -2x + y – 7 = 0 e  (s )  x -  y +3 = 0

b) (r )  -x + 2 = 0 e  (s )  x -  y +1 = 0   c) (r )  5x + 2y  = 0 e  (s )  3x -  y +2 = 0