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sábado, 8 de outubro de 2022

Um pouco da História da Estatística

 

Um pouco da História da Estatística



· Para responder ao desenvolvimento social surgiram as primeiras técnicas estatísticas. · Quando as sociedades primitivas se organizaram sentiram necessidade de tomar decisões que exigiam o conhecimento numérico dos recursos disponíveis. · As primeiras estatísticas foram realizadas para os governantes das grandes civilizações antigas tomarem conhecimento dos bens que o Estado possuía e como estavam distribuídos pela população. · Apesar de se saber hoje que três séculos antes do nascimento de Cristo já se faziam estatísticas, a palavra estatística apareceu pela primeira vez no século XVIII e foi sugerida pelo alemão Gottfried Achemmel (1719-1772), palavra esta que deriva de statu (estado, em latim). · O primeiro dado disponível sobre um levantamento estatístico foi referido por Heródoto o qual diz que em 3050 a. C. se efectuou um estudo da riqueza da população do Egipto, cuja finalidade era averiguar quais os recursos humanos e económicos disponíveis para a construção das pirâmides. · No ano 2238 a. C. realizou-se uma estatística ordenada pelo imperador chinês Yao com fins industriais e comerciais. · No ano 1400 a. C. Ramsés II mandou realizar um levantamento das terras do Egipto. · Outras estatísticas referidas pelos investigadores foram feitas por Moisés (1490 a. C.), pelos gregos e pelos romanos.

Primeira Fase o Desde a queda do império romano passou praticamente um milénio sem que se conheçam estatísticas importantes, a não ser as realizadas por Pipino, em 758, e por Carlos Magno, em 762, sobre as terras que eram propriedade da Igreja. o Desde então, muitos Estados ordenaram estudos para melhor conhecerem determinadas características da população, nomeadamente para determinarem leis sobre impostos e número de homens disponíveis para combater. o Esta foi a primeira fase do que, hoje, se chama Estatística.

Segunda Fase o No século XVII, em Inglaterra, iniciou-se uma segunda fase em que já se analisavam grupos de observações numéricas respeitantes à saúde pública, nascimentos, mortes e comércio. o Nesta fase, distinguiram-se John Graunt (1620-1674) e William Petty (1623-1687), que procuraram leis quantitativas para traduzir fenómenos sociais e políticos.

Terceira Fase o O desenvolvimento do Cálculo das Probabilidades surge também no século XVII. A ligação das probabilidades com os conhecimentos estatísticos veio dar uma nova dimensão à Estatística. Considera-se assim uma nova fase, a terceira, em que se começa a fazer inferência estatística. o Três nomes importantes ligados a esta fase são: Fermat(1601-1665), Pascal(1623-1662) e Huygens(1629-1695).

Quarta Fase o No século XIX inicia-se a última fase do desenvolvimento da Estatística, alargando e interligando os conhecimentos adquiridos nas três fases anteriores. o Com esta fase dá-se início a uma dependência dos diferentes ramos do saber relativamente à Estatística. o Dois dos grandes nomes associados a este desenvolvimento são: Ronald Fisher(1890-1962) e Karl Pearson(1857-1936). Hoje, a Estatística não se limita apenas ao estudo da Demografia e da Economia. O seu campo de aplicação alargou-se à análise de dados em Biologia, Medicina, Física, Psicologia, Indústria, Comércio, Meteorologia, Educação, etc, e ainda a domínios aparentemente desligados, como Estrutura de Linguagem e estudo de Formas Literárias. Na sua origem, a Estatística estava ligada ao Estado, como já aqui foi referido. Hoje, não só se mantém esta ligação, como todos os Estados e a sociedade em geral dependem cada vez mais dela. Por isso, em todos os Estados existe um Departamento ou Instituto Nacional de Estatística.

terça-feira, 2 de fevereiro de 2021

COMPLEX OPERATIONS - EXERCISE LIST

 

COMPLEX OPERATIONS - EXERCISE LIST

1. Calculate the following sums:

a) (2 + 5i) + (3 + 4i)

b) i + (2 - 5i)

2. Calculate the differences:

a) (2 + 5i) - (3 + 4i)    b) (1 + i) - (1 - i)

3. Calculate the following products:

a) (2 + 3i) (3 - 2i) b) (1 + 3i) (1 + i)

4. Write the symmetric of the following complex numbers:

a) 3 + 4i

b) -3 + i

c) 1 - i

d) -2 + 5i

5. Write the conjugates of the following complex numbers:

a) 3 + 4i

b) 1 - i

6. Perform the following divisions of complex numbers:

a) 

b)  

7. Calculate the powers:

a)

b)

8. If z = ( - 5m + 6) + ( - 1) .i, determine m so that z is a pure imaginary.

9. Determine the real part of the complex number z = .

10. Calculate the complex number

sexta-feira, 18 de novembro de 2016

EXERCÍCIOS SOBRE POLINÔMIOS COM RESPOSTAS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE POLINÔMIOS
Procurando exercícios resolvidos sobre polinômios?
Chegou ao site certo.
Aqui a matemática é abordada de forma simples e objetiva.
Confira uma seleção de questões resolvidas retiradas de vários concursos pelo país.
Bons estudos.


Prova Resolvida Guarda Civil SP – Questão 21. O resto da divisão do polinômio x³ + 3x² – 5x + 1 por x – 2 é:
a) 1
b) 2
c) 10
d) 11
e) 12


Prova Resolvida Guarda Civil SP – Questão 22. Considere o polinômio:

 Sabendo que P(1) = 2, então o valor de P(3) é:
a) 386.
b) 405.
c) 324.
d) 81.
e) 368.

Resolução:
Como P(1) = 2:
P(1)=4.1  + 3.1 – 2.1 + 1 + k =2
4 + 3 – 2 + 1+ k = 2
10 + k = 2
k = 2 – 6
k = – 4

O polinômio será P(x) =  4x^4  + 3x³ + 2x² + x – 4

Calculando P(3):
P(3) =  4x^4  + 3x³ + 2x² + x – 4
P(3) = 4.81 + 3.27 – 2.9 + 3 – 4
P(3) = 324 + 81 – 18 + 3 – 4
P(3) = 386


Prova Resolvida RFB 2009 – Esaf – Questão 39. Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – a) e (x – b) com a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x–a) e (x–b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x – 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x – 1) e (x + 3) é igual a:
a) 13x/4 + 7/4
b) 7x/4 – 13/4
c) 7x/4 + 13/4
d) -13x/4 – 13/4
e) -13x/4 – 7/4

Resolução:
Primeiramente, o resto da divisão de um polinômio P(x) por (x-a) é igual a P(a)
Dividindo o polinômio f pelo polinômio de grau 2, resultado do produto (x-1).(x+3). Observe que o resto deve ter grau 1 ou 0 (se divisão exata).Vamos chamar o resto de ax + b.

Temos::
P(1) = 5 (5 é o resto da divisão de f por x-1)
P(-3) = -2 (-2 é o resto da divisão de f por x+3)

Daí,
a.1 + b = 5
a.(-3) + b = -2

Subtraindo a equação 1 pela equação 2, temos:
4a = 7
a = 7/4

Substituindo “a” na equação 1, temos:
7/4 + b = 5
b = 5 – 7/4
b = 13/4

Concluímos que o resto é ax + b = (7/4).x + 13/4


Exercícios sobre Polinômios com Respostas

Polinômios – Exercícios
Leia o artigo: Polinômios
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01. Calcular o valor numérico do polinômio P(x) = x3 – 7x2 + 3x – 4 para x = 2.
02. Determinar os valores reais de a e b para que o polinômio x3 + 6x2 + ax + b seja um cubo perfeito.
03. (UESB) Se P(x) = xn – xn-1 + xn-2 – … + x2 – x + 1 e P(-1) = 19, então n é igual a:
a) 10
b) 12s
c) 14
d) 16
e) 18
04. (UBERL) Se P(x) é um polinômio tal que 2P(x) + x2 P(x – 1) ≡ x3 + 2x + 2, então P(1) é igual a:
a) 0
b) -1
c) 1
d) -2
e) 2
05. As soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio x4 – 10x+ 24x2+ 10x – 24 por x2 – 6x + 5, são:
a) -1 e 5
b) -1 e -5
c) 1 e -5
d) 1 e 5
e) 0 e 1
06. (UESP) Se o polinômio P(x) = x3 + mx2 – 1 é divisível por x2 + x – 1, então m é igual a:
a) -3
b) -2
c) -1
d) 1
e) 2
07. (UEL) Dividindo-se o polinômio x4 + 2x3 – 2x2 – 4x – 21 por x + 3, obtêm-se:
a) x3 – 2×2 + x -12 com resto nulo;
b) x3 – 2×2 + 3 com resto 16;
c) x3 – x2 -13x + 35 e resto 84;
d) x3 – x2 – 3x + 1com resto 2;
e) x3 – x2 + x -7 e resto nulo;
08. (UEL) Se o resto da divisão do polinômio p = x4 – 4x3 – kx – 75 por (x – 5) é 10, o valor de k é:
a) -5
b) -4
c) 5
d) 6
e) 8
09. Sejam m e n determinados de tal modo que o polinômio x4 – 12x3 + 47x2 + mx + n seja divisível por
x2 – 7x + 6. Então m + n é igual a:
a) 72
b) 0
c) -36
d) 36
e) 58
10. Para que o polinômio 2x4 – x3 + mx2 – nx + 2 seja divisível por x2 – x – 2, devemos ter:
a) m = 1 e n = 6
b) m = -6 e n = -1
c) m = 6 e n = 1
d) m = -6 e n = 1
e) m = 6 e n = -1
Respostas:
01. P(2) = -18
02. a = 12 e b = 8
03. E
04. E
05. A
06. E
07. E
08. E
09. C
10. D


Exercícios sobre Números Complexos com respostas

lista de exercícios
1 - Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180
2 - Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15, calcule Im(z).w + Im(w).z . 
3 - UCMG - O número complexo 2.O, tal que 5z + Ō = 12 + 6i é: 
4 - UCSal - Para que o produto (a + i). (3 - 2i) seja real, a deve ser: 
5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é: 
6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é: 
7 - Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.   Resp: 3
8 - Calcule [(1 + i)80 + (1 + i)82] : i96.240.   Resp: 1 + 2i
9 - Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi , sabendo-se que z + w é um número real e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a.   Resp: 50
10 - Se o número complexo z = 1 - i é uma das raízes da equação x10 + a = 0 , então calcule o valor de a.  Resp: 32i
11 - Determine o número complexo z tal que i.O + 2.Ō + 1 - i = 0. 
12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i, é:
a) -3i       b) 1 - i       c) 5/2 + (5/2)i       d) 5/2 - (3/2)i       e) 1/2 - (3/2)i 
13 - UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1 + 2i       b) 1 + 2i       c) 1 - 2i       d) 3 - 4i       e) 3 + 4i 
14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10       b) 5 e 10       c) 7 e 9       d) 5 e 9       e) 0 e -9 
15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) 
Ö13      b) 7       c) 13       d) 7       e) 5 
16 - FESP/UPE - Seja z = 1 + i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16       b) 161       c) 32       d) 32i       e) 32 + 16i 
17 - UCSal - Sabendo que (1 + i)22 = 2i, então o valor da expressão
y = (1 + i)48 - (1 + i)49 é:
a) 1 + i       b) -1 + i       c) 224 . i       d) 248 . i       e) -224 . i


Resposta:
1) -3 - i 
2) -3 + 18i 
3) 4 + 3i 
4) 3/2 
5) -2 + 18i 
6) i 
7) 3 
8) 1 + 2i 
9) 50 
10) 32i 
11) -1 - i 
12) B 
13) D 
14) A 
15) A 
16) A 
17) E Fonte: Outros exercícios: http://www.pucrs.br/famat/augusto/calculo_avancado_A/exerc1.pdf

LISTA DE EXERCÍCIOS – OPERAÇÕES COM COMPLEXOS

LISTA DE EXERCÍCIOS – OPERAÇÕES COM COMPLEXOS

1.  Calcule as seguintes somas:
             a) (2 + 5i) + (3 + 4i)                                                         b) i + (2 - 5i)

2.  Calcule as diferenças:
        a) (2 + 5i) - (3 + 4i)                                                          b) (1 + i) - (1 - i)

3.  Calcule os seguintes produtos:
        a) (2 + 3i) (3 - 2i)                                                             b) (1 + 3i) (1 + i)

4.  Escreva os simétricos dos seguintes números complexos:
        a) 3 + 4i         b) -3 + i                         c) 1 - i                              d)  -2 + 5i

5.  Escreva os conjugados dos seguintes números complexos:
        a) 3 + 4i                                                                                              b) 1 - i
      
6.  Efetue as seguintes divisões de números complexos:
        a)       -10+15i                                               b)    1+3i
                     2 - i                                                         1 + i  
7.  Calcule as potências:
        a)     (1 + i)2                                              b)    (-2 + i)2

8.  Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1).i, determine m de modo que z seja um imaginário puro.

9.  Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .
10. Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180
11. Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 , calcule Im(z).w + Im(w).z .
12. (UCMG) - O número complexo 2z, tal que 5z + = 12 + 6i é:
13. (UCSal) - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real qual deve ser o valor de “a”?
14. (UFBA) - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , calcule o valor de a.c + b.
15. (Mackenzie-SP) – Calcule o valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001.
16. Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.
17. (UEFS-93.2) - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), calcule os valores de m e n.
18. A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a (-8 - 6i). Calcule 19. (FESP/UPE) - Seja z = 1+ i , onde i é a unidade imaginária. Calcule a potência  z8.


20. (UCSal) - Sabendo que (1+i)2 = 2i, então calcule o valor da expressão y = (1+i)48 - (1+i)49.