Polinômios

POLINÔMIOS

Definição de um Polinômio

Eis o termo geral de um polinômio:

a₀ xⁿ  +  a₁ x^{n – 1} +  a₂ x^{n -2}  + ... +  a_{n – 1} x + a_n

A função polinomial será definida por

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + a₂x^{n -2} + ... + a_{n – 1}x + a_n

Sendo:
a₀ , a₁ , a₂, … , a_{n – 1} e a_n números complexos e o n  N.

Valor numérico de um polinômio

Se observarmos um polinômio qualquer P(x) = 2x⁴ + x³ +3 x² – 7x + 1, para acharmos o valor numérico faz-se necessário estabelecer um valor para a variável x.

Logo, para x = 2 o valor que encontrarmos para P(2) quando substituirmos x por 2 será o valor numérico do polinômio.
P(2) = 2 . 2⁴ .+ 2³ +3 2² –7 2 + 1
P(2) = 2 . 16 + 8 +3. 4 – 7 + 1
P(2) = 32+8+12 – 6
P(2) = 46

Zero ou raiz de um polinômio

Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) = 2x⁴ + x³ +3 x² – 7x + 1= 0, a raiz dele será um número qualquer K se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero quando x = K

Vejamos:
P(x) = x² - 25, no cálculo do zero da função, devemos colocar P(x) = 0, logo:
x² - 25 = 0            |         x² = 25                  |         x = + 5 ou - 5
Do exposto temos que -5 e 5 são as raízes do polinômio dado.

Grau de um polinômio

Para encontrar o grau de um polinômio basta verificar os graus dos monômios que compõem o polinômio, sendo o maior deles o grau do polinômio. Ou seja, no polinômio• P(x) = 7x³ - 9x² + 23x – 1 o monômio de maior grau é o primeiro, cujo expoente é 3, logo é do 3º grau. Se houver mais uma variável há que se somar os valores dos expoentes de modo a obter o grau do monômio e verificar aquele que tem maior soma.

Exemplo:

Dado o polinômio P(x) = 2x⁴ y + x³ yz + 3 x² z – 7xyz – 9.

Como o primeiro monômio é do 5º grau(4+1), o segundo também é do 5ºgrau(3+1+1), o terceiro é do 3º(2+1) e o quarto também é do 3º(1+1+1). Logo o polinômio é do 5º grau. O maior grau dentre os monômios.

 

OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS

Adição e Subtração de Polinômios

Dados os polinômios 9x² - 5x – 1 e –6x³ + 3x – 4.

Fazendo a adição deles

(9x² - 5x – 1) + (–6x³ + 3x – 4) retirando-se os parênteses temos:

9x² - 5x – 1  –6x³ + 3x – 4, ordenando e juntando-se os termos semelhantes fica assim: –6x³+9x² - 5x+ 3x – 1 – 4

Efetuando-se as operações indicadas:

–6x³+9x² - 2x – 5

Subtração de Polinômios

(9x² - 5x – 1) – (–6x³ + 3x – 4) → eliminando-se os parênteses e trocando-se todos os sinais do segundo polinômio fica,
9x² - 5x – 1 +6x³ - 3x + 4,  

reduzindo-se os termos semelhantes e colocando em ordem temos,

 6x³+9x² - 5x - 3x – 1 + 4

6x³+9x² - 8x + 3

Multiplicação de monômio por polinômio

Veja os cálculos

(6x)(9x² - 5x – 1) Aplicando-se a propriedade distributiva ou o “chuveirinho”, temos:
6x.9x² +6x.(- 5x)+ 6x.( – 1), efetuando-se as multiplicações temos como resultado   54x³- 30 x²- 6 x

Multiplicação de polinômio por polinômio

(2x + 7) (3x² – x + 2) =

2x .3x² – 2x .x + 2x .2 + 7.3x² + 7(– x) + 7. 2 =

6x³ – 2x² + 4x + 21x² - 7 x + 14 =

6x³ +19x² - 3x + 14

 

Divisão de Polinômios

Para dividir  12x³ + 4x² – 8x  por 4x  utilizamos inicialmente a regra da chave, conhecida por todos:
Obtemos quociente + 3x² + x – 2 e resto 0

 

Ou  dividindo 10x² – 43x + 40 por 2x – 5 temos: quociente 5x – 9 e resto -5.

Utilizando o Dispositivo de Briot-Ruffini

Entenda o dispositivo por meio do cálculo:

p(x) = x² + 4x + 3        e         h(x) = x + 1

Para dividir o polinômio p(x) pelo h(x), inicialmente calculando a raiz do polinômio divisor h(x), temos x = -1. Separa-se  a raiz à esquerda e o coeficientes do dividendo p(x) à direita fica assim:

-1 |  1          4        ‘  3

                                                  |         -1.1+4      ‘-1.3+3

                                                  |   1          3        ‘    0

Repetindo-se o primeiro coeficiente e multiplicando-se pela raiz -1, pega-se  esse resultado e se junta ao coeficiente subsequente colocando-se o resultado abaixo.

Faz-se isso sucessivamente até o último, o qual será o resto da divisão.

Da aplicação do dispositivo obtemos os resultados: 1, 3 e 0.

Como no caso temos uma divisão de um polinômio do 2º grau por outro do primeiro, naturalmente o resultado será um polinômio do primeiro grau. Sempre fazendo a subtração do maior grau pelo menor, daí obteremos o grau do polinômio resultado da divisão.

Sendo assim os coeficientes 1 e 3 na ordem serão  montados colocando-se a variável no primeiro e vai reduzindo sucessivamente até o último. Daí resulta:

q(x) = 1x +3

 ou    q(x) = x +3

 

Exercícios sobre Números Complexos

NÚMEROS COMPLEXOS                                         Prof. mauro

 

Exercícios

 

1) Resolver a equação no campo dos complexos:  + 81 = 0       

 

 S={-9i,9i}

 

 

2) Determine k de modo que o número complexo z = (k - 5) + 4i seja imaginário puro.

 

 R. K = 5

 

 

3) Dados z1 = 5x – (2 + y)i   e z2 = (- 2x + 3) + 3i, encontre x e y para que z1 = z2.

 

 

 R. x = 3/7 e y = -5

 

4) Determine o conjugado do seguinte número complexo:  z =  i - 3

 __

 Z  =  - i - 3

5) Calcule:

a) (2 + 3i) + (3+ 5i)    b) (3i) – (1 + i)    c) (2+ 4i) (1 – 3i)      d) (1 –5i)

 R. 5 + 8i                     R. -1+2i              R. 7 - i                          (2 + i)   R. -3-11i

                                                                                                                      5

e)  i 93=       R. i                                                                                            

Números Complexos. Vídeo.

Assista ao vídeo disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=9GrgRbCb_f0

1ª Prova - Análise Combinatória/Geometria Analítica

CEM 03 – Ceilândia – Matemática – III – Prof. Mauro Cinosi - 1ª Prova

Análise Combinatória/Geometria Analítica

Nome:__________________________________________________Turma___ Data___________

Orientações: 1) Coloque cada resposta grafadas à tinta azul/preta abaixo da questão proposta. 2) Não é permitido o uso de celular para cálculos. 3) Use, se precisar, apenas calculadora. 4) Tempo disponível : duas aulas.   Boa Prova.

 

1) Calcule:      A) (x -1)! = 9(x - 2)!

 

 R. S = {10}

 

2) Quantos anagramas existem da palavra  REPARAR? 

 

 R. 420

 

      3) Lança-se uma moeda 8 vezes consecutivas. Quantas seqüências de resultados são possíveis de ocorrer?

       R. 256

 

 

 

      4) No sistema de numeração decimal, quantos números de cinco algarismos são formados com repetição de algarismos?

        R. 90.000

 

 

      5) Seis times de futebol disputam um torneio. Quantas são as possibilidades de resultados para os 4

          primeiros colocados?

           R. 360

 

 

 

      6) Seis homens e uma mulher estão em uma sala de espera, onde há apenas um banco de cinco lugares. De quantas maneiras diferentes os homens podem se sentar, nunca deixando em pé a mulher?

        R.  1.800

 

 

 

      7) Quantas equipes de voley podemos formar a partir de um grupo de 8 atletas? (uma equipe de voley é composta de 6 jogadores).

      R.  28

 

 

 

      8) Calcule a distância entre os pontos A e B nos seguintes casos  A(0,3) e B(5,0).

       ___

 R. V34

      9) Verifique se os 3 pontos estão alinhados A (-2,3), B(3,-1) e C (8,-5)?

 R. Os pontos A, B e C estão alinhados.

 

 

      10) Encontre  a Equação Reduzida que passa por  A(1,3) e B(2,0)?

R. Y = -3x + 6 

#Análise Combinatória #Geometria Analítica #Estudo Dirigido

CEM 03 – Ceilândia – Matemática – III – Prof. Mauro - Estudo Dirigido

Nome:_______________________________Turma___ Data___________

Análise Combinatória/Geometria Analítica

 

1) Calcule:      A) (x -2)! =  5(x - 3)!                           B) (n+4)! = 120

 

2) Quantos anagramas existem da palavra  ARRANJO? 

 

      3)    Lança-se uma moeda 3 vezes consecutivas. Quantas seqüências de resultados são possíveis?

 

      4)  No sistema de numeração decimal, quantos números de dois algarismos são formados sem repetição de    

           algarismos?

 

      5) Sete cavalos disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para os 3 primeiros

          lugares?

 

      6)  Um automóvel comporta dois lugares no banco da frente e três atrás. Quantas alternativas distintas há

            para lotar o automóvel – escolhendo cinco entre nove pessoas determinadas, de modo que uma dessas

            pessoas nunca ocupe um lugar no banco da frente?

 

      7)  Com 8 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 5 espécies diferentes, poder ser feitas?

 

      8) Calcule a distância entre os pontos A e B nos seguintes casos A (2,5) e B(-1,1)?

 

      9) Verifique se os 3 pontos estão alinhados A(2,0), B(3,-4) e C(4,-8)?

 

      10) Encontre  a Equação Segmentária que passa por  A (2,1) e B(-1,1)?

 

Revisão - Análise Combinatória e Geometria Analítica

Revisão

 

Análise Combinatória

 

1) Calcule:      A) (x -2)! =  2(x - 3)!                     B) – 4!                        C) (n+4)! = 24

 

2) Quantos anagramas existem das palavras:  BELEZA 

 

3) Quais anagramas existem da palavra  SOL?

 

4)    Cinco times de futebol (Cruzeiro, Fluminense, Flamengo, São Paulo e Santos)  disputam  um torneio de futebol. Quantas são as possibilidades de classificação para os dois primeiros lugares? R. 20.

 

5)    Lança-se uma moeda 4 vezes consecutivas. Quantas seqüências de resultados são possíveis? R. 16.

 

6)    Considere os algarismos 1,3 e 5.

 

1. Quantos números de três algarismos distintos é possível formar com esses algarismos? R. 6.

 

1. Quantos números de três algarismos é possível formar com esses números? R. 27.

 

7)    André tem 2 bermudas (cinza e preta) e 4 camisetas (branca, verde, amarela e roxa). De quantas maneiras diferentes ele poderá se vestir usando uma bermuda e uma camiseta? R. 8.

 

8)    No sistema de numeração decimal, quantos números de três algarismos são formados sem repetição de algarismos? R. 648.

 

9)    Oito cavalos disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para os 3 primeiros lugares? R. 336.

 

10)  Um automóvel comporta dois lugares no banco da frente e três atrás. Quantas alternativas distintas há para lotar o automóvel – escolhendo cinco entre sete pessoas determinadas-, de modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar no banco da frente? R. 1800.

 

11) Cinco homens e uma mulher estão em uma sala de espera, onde há apenas um banco de cinco lugares. De quantas maneiras diferentes os homens podem se sentar, nunca deixando em pé a mulher? R. 600.

 

12)  Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes, poder ser feitas? R. 210.

 

Geometria Analítica

 

1)      Calcule a distância entre os pontos A e B nos seguintes casos:

a) A(0,3) e B(5,0)               b) A (2,5) e B(-1,1)       c) A(3, 1) e B(-2,-1).

 

2)      Verifique se os 3 pontos estão alinhados:

a) A(6,4) , B(1,2) e C(0,0)   b) A (-2,3),  B(3,-1) e C (8,-5)   c) A(2,0), B(3,-4) e C(4,-8)

 

3)      Encontre  a Equação Geral da Reta, a Equação Reduzida e a Equação Segmentária que passa por:

a) A(1,3) e B(2,0)               b) A (2,1) e B(-1,1)       c) A(2, -1) e B(-2,7).

 

Probabilidade - respostas (material postado em 21 de março de 2012)

PROBABILIDADE

(material postado em 21 de março de 2012)

Respostas

1. A)Aproximadamente 16,6%

B) 25%

C) 50%

D)25%

E) 0%

1. A) Aproximadamente  16,6%
   B) Aproximadamente  11,1%
    
2. 30%
3. 8,33%
4. A) Aproximadamente 7,69%
   B) Aproximadamente 19%
   C) 25%

        6) Aproximadamente 28,57%

        7) Aproximadamente 5,55%