Polinômios

POLINÔMIOS

Definição de um Polinômio

Eis o termo geral de um polinômio:

a₀ xⁿ  +  a₁ x^{n – 1} +  a₂ x^{n -2}  + ... +  a_{n – 1} x + a_n

A função polinomial será definida por

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + a₂x^{n -2} + ... + a_{n – 1}x + a_n

Sendo:
a₀ , a₁ , a₂, … , a_{n – 1} e a_n números complexos e o n  N.

Valor numérico de um polinômio

Se observarmos um polinômio qualquer P(x) = 2x⁴ + x³ +3 x² – 7x + 1, para acharmos o valor numérico faz-se necessário estabelecer um valor para a variável x.

Logo, para x = 2 o valor que encontrarmos para P(2) quando substituirmos x por 2 será o valor numérico do polinômio.
P(2) = 2 . 2⁴ .+ 2³ +3 2² –7 2 + 1
P(2) = 2 . 16 + 8 +3. 4 – 7 + 1
P(2) = 32+8+12 – 6
P(2) = 46

Zero ou raiz de um polinômio

Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) = 2x⁴ + x³ +3 x² – 7x + 1= 0, a raiz dele será um número qualquer K se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero quando x = K

Vejamos:
P(x) = x² - 25, no cálculo do zero da função, devemos colocar P(x) = 0, logo:
x² - 25 = 0            |         x² = 25                  |         x = + 5 ou - 5
Do exposto temos que -5 e 5 são as raízes do polinômio dado.

Grau de um polinômio

Para encontrar o grau de um polinômio basta verificar os graus dos monômios que compõem o polinômio, sendo o maior deles o grau do polinômio. Ou seja, no polinômio• P(x) = 7x³ - 9x² + 23x – 1 o monômio de maior grau é o primeiro, cujo expoente é 3, logo é do 3º grau. Se houver mais uma variável há que se somar os valores dos expoentes de modo a obter o grau do monômio e verificar aquele que tem maior soma.

Exemplo:

Dado o polinômio P(x) = 2x⁴ y + x³ yz + 3 x² z – 7xyz – 9.

Como o primeiro monômio é do 5º grau(4+1), o segundo também é do 5ºgrau(3+1+1), o terceiro é do 3º(2+1) e o quarto também é do 3º(1+1+1). Logo o polinômio é do 5º grau. O maior grau dentre os monômios.

 

OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS

Adição e Subtração de Polinômios

Dados os polinômios 9x² - 5x – 1 e –6x³ + 3x – 4.

Fazendo a adição deles

(9x² - 5x – 1) + (–6x³ + 3x – 4) retirando-se os parênteses temos:

9x² - 5x – 1  –6x³ + 3x – 4, ordenando e juntando-se os termos semelhantes fica assim: –6x³+9x² - 5x+ 3x – 1 – 4

Efetuando-se as operações indicadas:

–6x³+9x² - 2x – 5

Subtração de Polinômios

(9x² - 5x – 1) – (–6x³ + 3x – 4) → eliminando-se os parênteses e trocando-se todos os sinais do segundo polinômio fica,
9x² - 5x – 1 +6x³ - 3x + 4,  

reduzindo-se os termos semelhantes e colocando em ordem temos,

 6x³+9x² - 5x - 3x – 1 + 4

6x³+9x² - 8x + 3

Multiplicação de monômio por polinômio

Veja os cálculos

(6x)(9x² - 5x – 1) Aplicando-se a propriedade distributiva ou o “chuveirinho”, temos:
6x.9x² +6x.(- 5x)+ 6x.( – 1), efetuando-se as multiplicações temos como resultado   54x³- 30 x²- 6 x

Multiplicação de polinômio por polinômio

(2x + 7) (3x² – x + 2) =

2x .3x² – 2x .x + 2x .2 + 7.3x² + 7(– x) + 7. 2 =

6x³ – 2x² + 4x + 21x² - 7 x + 14 =

6x³ +19x² - 3x + 14

 

Divisão de Polinômios

Para dividir  12x³ + 4x² – 8x  por 4x  utilizamos inicialmente a regra da chave, conhecida por todos:
Obtemos quociente + 3x² + x – 2 e resto 0

 

Ou  dividindo 10x² – 43x + 40 por 2x – 5 temos: quociente 5x – 9 e resto -5.

Utilizando o Dispositivo de Briot-Ruffini

Entenda o dispositivo por meio do cálculo:

p(x) = x² + 4x + 3        e         h(x) = x + 1

Para dividir o polinômio p(x) pelo h(x), inicialmente calculando a raiz do polinômio divisor h(x), temos x = -1. Separa-se  a raiz à esquerda e o coeficientes do dividendo p(x) à direita fica assim:

-1 |  1          4        ‘  3

                                                  |         -1.1+4      ‘-1.3+3

                                                  |   1          3        ‘    0

Repetindo-se o primeiro coeficiente e multiplicando-se pela raiz -1, pega-se  esse resultado e se junta ao coeficiente subsequente colocando-se o resultado abaixo.

Faz-se isso sucessivamente até o último, o qual será o resto da divisão.

Da aplicação do dispositivo obtemos os resultados: 1, 3 e 0.

Como no caso temos uma divisão de um polinômio do 2º grau por outro do primeiro, naturalmente o resultado será um polinômio do primeiro grau. Sempre fazendo a subtração do maior grau pelo menor, daí obteremos o grau do polinômio resultado da divisão.

Sendo assim os coeficientes 1 e 3 na ordem serão  montados colocando-se a variável no primeiro e vai reduzindo sucessivamente até o último. Daí resulta:

q(x) = 1x +3

 ou    q(x) = x +3