Conjuntos Numéricos e EQUAÇÃO DO 2º GRAU

 

Conjuntos Numéricos

I) Números Naturais

 N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }

II) Números Inteiros

 Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }

Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z

III) Números Racionais

 - São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.

Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 }

Assim como exemplo podemos citar o –1/2 , 1 , 2,5 ,...

 -Números decimais exatos são racionais

 Pois  0,1 = 1/10

        2,3 = 23/10 ...

 - Números decimais periódicos são racionais.

         0,1111... = 1/9

         0,3232 ...= 32/99

         2,3333 ...= 21/9

         0,2111 ...= 19/90

 -Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1.

IV) Números Irracionais

 - São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.

 -São compostos por dízimas infinitas não periódicas.

  Exs:
               

V) Números Reais

 - É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.

   Resumindo:

 
          

  Intervalos :

 Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos.

 Intervalo fechado nos extremos a e b:

  =

 Intervalo fechado em a e aberto em b:

 

 Intervalo aberto em a e fechado em b:

 

 Intervalo aberto em a e b:

 

 Temos também:

 

 

 

 

EQUAÇÃO DO 2º GRAU

 

Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .

Exemplos:

Equação	a	b	c
x²+2x+1	1	2	1
5x-2x²-1	-2	5	-1

Classificação:

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.

1º caso: b=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta:

x²-9=0  »  x²=9  »  x=  »  x=

2º caso: c=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta:

x²-9x=0 »  Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0  »  x=0,9

3º caso: b=c=0

2x²=0  »  x=0

Resolução de equações do 2º grau:

  A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.

- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.

   Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?

   Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:

   Multiplicamos os dois membros por 4a:

          4a²x²+4abx+4ac=0
          4a²x²+4abx=-4ac

   Somamos b² aos dois membros:

          4a²x²+4abx+b²=b²-4ac

   Fatoramos o lado esquedo e chamamos de (delta)
b²-4ac:

          (2ax+b)²=

          2ax+b=

           2ax=-b

   Logo:
              ou  

Fórmula de Bháskara:
  

Um pouco da História da Estatística

 

Um pouco da História da Estatística

· Para responder ao desenvolvimento social surgiram as primeiras técnicas estatísticas. · Quando as sociedades primitivas se organizaram sentiram necessidade de tomar decisões que exigiam o conhecimento numérico dos recursos disponíveis. · As primeiras estatísticas foram realizadas para os governantes das grandes civilizações antigas tomarem conhecimento dos bens que o Estado possuía e como estavam distribuídos pela população. · Apesar de se saber hoje que três séculos antes do nascimento de Cristo já se faziam estatísticas, a palavra estatística apareceu pela primeira vez no século XVIII e foi sugerida pelo alemão Gottfried Achemmel (1719-1772), palavra esta que deriva de statu (estado, em latim). · O primeiro dado disponível sobre um levantamento estatístico foi referido por Heródoto o qual diz que em 3050 a. C. se efectuou um estudo da riqueza da população do Egipto, cuja finalidade era averiguar quais os recursos humanos e económicos disponíveis para a construção das pirâmides. · No ano 2238 a. C. realizou-se uma estatística ordenada pelo imperador chinês Yao com fins industriais e comerciais. · No ano 1400 a. C. Ramsés II mandou realizar um levantamento das terras do Egipto. · Outras estatísticas referidas pelos investigadores foram feitas por Moisés (1490 a. C.), pelos gregos e pelos romanos.

Primeira Fase o Desde a queda do império romano passou praticamente um milénio sem que se conheçam estatísticas importantes, a não ser as realizadas por Pipino, em 758, e por Carlos Magno, em 762, sobre as terras que eram propriedade da Igreja. o Desde então, muitos Estados ordenaram estudos para melhor conhecerem determinadas características da população, nomeadamente para determinarem leis sobre impostos e número de homens disponíveis para combater. o Esta foi a primeira fase do que, hoje, se chama Estatística.

Segunda Fase o No século XVII, em Inglaterra, iniciou-se uma segunda fase em que já se analisavam grupos de observações numéricas respeitantes à saúde pública, nascimentos, mortes e comércio. o Nesta fase, distinguiram-se John Graunt (1620-1674) e William Petty (1623-1687), que procuraram leis quantitativas para traduzir fenómenos sociais e políticos.

Terceira Fase o O desenvolvimento do Cálculo das Probabilidades surge também no século XVII. A ligação das probabilidades com os conhecimentos estatísticos veio dar uma nova dimensão à Estatística. Considera-se assim uma nova fase, a terceira, em que se começa a fazer inferência estatística. o Três nomes importantes ligados a esta fase são: Fermat(1601-1665), Pascal(1623-1662) e Huygens(1629-1695).

Quarta Fase o No século XIX inicia-se a última fase do desenvolvimento da Estatística, alargando e interligando os conhecimentos adquiridos nas três fases anteriores. o Com esta fase dá-se início a uma dependência dos diferentes ramos do saber relativamente à Estatística. o Dois dos grandes nomes associados a este desenvolvimento são: Ronald Fisher(1890-1962) e Karl Pearson(1857-1936). Hoje, a Estatística não se limita apenas ao estudo da Demografia e da Economia. O seu campo de aplicação alargou-se à análise de dados em Biologia, Medicina, Física, Psicologia, Indústria, Comércio, Meteorologia, Educação, etc, e ainda a domínios aparentemente desligados, como Estrutura de Linguagem e estudo de Formas Literárias. Na sua origem, a Estatística estava ligada ao Estado, como já aqui foi referido. Hoje, não só se mantém esta ligação, como todos os Estados e a sociedade em geral dependem cada vez mais dela. Por isso, em todos os Estados existe um Departamento ou Instituto Nacional de Estatística.

Resolução de questões Alan e Lara

Exercícios resolvidos

COMPLEX OPERATIONS - EXERCISE LIST

 

COMPLEX OPERATIONS - EXERCISE LIST

1. Calculate the following sums:

a) (2 + 5i) + (3 + 4i)

b) i + (2 - 5i)

2. Calculate the differences:

a) (2 + 5i) - (3 + 4i)    b) (1 + i) - (1 - i)

3. Calculate the following products:

a) (2 + 3i) (3 - 2i) b) (1 + 3i) (1 + i)

4. Write the symmetric of the following complex numbers:

a) 3 + 4i

b) -3 + i

c) 1 - i

d) -2 + 5i

5. Write the conjugates of the following complex numbers:

a) 3 + 4i

b) 1 - i

6. Perform the following divisions of complex numbers:

a) 

b)  

7. Calculate the powers:

a)

b)

8. If z = ( - 5m + 6) + ( - 1) .i, determine m so that z is a pure imaginary.

9. Determine the real part of the complex number z = .

10. Calculate the complex number

EXERCÍCIOS SOBRE POLINÔMIOS COM RESPOSTAS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE POLINÔMIOS

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Aqui a matemática é abordada de forma simples e objetiva.

Confira uma seleção de questões resolvidas retiradas de vários concursos pelo país.

Bons estudos.

Prova Resolvida Guarda Civil SP – Questão 21. O resto da divisão do polinômio x³ + 3x² – 5x + 1 por x – 2 é:

a) 1

b) 2

c) 10

d) 11

e) 12

Prova Resolvida Guarda Civil SP – Questão 22. Considere o polinômio:

 Sabendo que P(1) = 2, então o valor de P(3) é:

a) 386.

b) 405.

c) 324.

d) 81.

e) 368.

Resolução:

Como P(1) = 2:

P(1)=4.1  + 3.1 – 2.1 + 1 + k =2

4 + 3 – 2 + 1+ k = 2

10 + k = 2

k = 2 – 6

k = – 4

O polinômio será P(x) =  4x^4  + 3x³ + 2x² + x – 4

Calculando P(3):

P(3) =  4x^4  + 3x³ + 2x² + x – 4

P(3) = 4.81 + 3.27 – 2.9 + 3 – 4

P(3) = 324 + 81 – 18 + 3 – 4

P(3) = 386

Prova Resolvida RFB 2009 – Esaf – Questão 39. Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – a) e (x – b) com a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x–a) e (x–b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x – 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x – 1) e (x + 3) é igual a:

a) 13x/4 + 7/4

b) 7x/4 – 13/4

c) 7x/4 + 13/4

d) -13x/4 – 13/4

e) -13x/4 – 7/4

Resolução:

Primeiramente, o resto da divisão de um polinômio P(x) por (x-a) é igual a P(a)

Dividindo o polinômio f pelo polinômio de grau 2, resultado do produto (x-1).(x+3). Observe que o resto deve ter grau 1 ou 0 (se divisão exata).Vamos chamar o resto de ax + b.

Temos::

P(1) = 5 (5 é o resto da divisão de f por x-1)

P(-3) = -2 (-2 é o resto da divisão de f por x+3)

Daí,

a.1 + b = 5

a.(-3) + b = -2

Subtraindo a equação 1 pela equação 2, temos:

4a = 7

a = 7/4

Substituindo “a” na equação 1, temos:

7/4 + b = 5

b = 5 – 7/4

b = 13/4

Concluímos que o resto é ax + b = (7/4).x + 13/4

Exercícios sobre Polinômios com Respostas

Polinômios – Exercícios

Leia o artigo: Polinômios

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01. Calcular o valor numérico do polinômio P(x) = x³ – 7x² + 3x – 4 para x = 2.

02. Determinar os valores reais de a e b para que o polinômio x³ + 6x² + ax + b seja um cubo perfeito.

03. (UESB) Se P(x) = xⁿ – x^n-1 + x^n-2 – … + x² – x + 1 e P(-1) = 19, então n é igual a:

a) 10
b) 12s
c) 14
d) 16
e) 18

04. (UBERL) Se P(x) é um polinômio tal que 2P(x) + x² P(x – 1) ≡ x³ + 2x + 2, então P(1) é igual a:

a) 0
b) -1
c) 1
d) -2
e) 2

05. As soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio x⁴ – 10x³ + 24x²+ 10x – 24 por x² – 6x + 5, são:

a) -1 e 5
b) -1 e -5
c) 1 e -5
d) 1 e 5
e) 0 e 1

06. (UESP) Se o polinômio P(x) = x³ + mx² – 1 é divisível por x² + x – 1, então m é igual a:

a) -3
b) -2
c) -1
d) 1
e) 2

07. (UEL) Dividindo-se o polinômio x⁴ + 2x³ – 2x² – 4x – 21 por x + 3, obtêm-se:

a) x3 – 2×2 + x -12 com resto nulo;
b) x3 – 2×2 + 3 com resto 16;
c) x3 – x2 -13x + 35 e resto 84;
d) x3 – x2 – 3x + 1com resto 2;
e) x3 – x2 + x -7 e resto nulo;

08. (UEL) Se o resto da divisão do polinômio p = x⁴ – 4x³ – kx – 75 por (x – 5) é 10, o valor de k é:

a) -5
b) -4
c) 5
d) 6
e) 8

09. Sejam m e n determinados de tal modo que o polinômio x⁴ – 12x³ + 47x² + mx + n seja divisível por
x² – 7x + 6. Então m + n é igual a:

a) 72
b) 0
c) -36
d) 36
e) 58

10. Para que o polinômio 2x⁴ – x³ + mx² – nx + 2 seja divisível por x² – x – 2, devemos ter:

a) m = 1 e n = 6
b) m = -6 e n = -1
c) m = 6 e n = 1
d) m = -6 e n = 1
e) m = 6 e n = -1

Respostas:

01. P(2) = -18

02. a = 12 e b = 8

03. E	04. E	05. A	06. E
07. E	08. E	09. C	10. D