Números Complexos - Exercícios resolvidos

Números Complexos - Exercícios resolvidos

01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:



a) 1 + 11i

b) 1 + 31i

c) 29 + 11i

d) 29 - 11i

e) 29 + 31i



RESPOSTA: C



02. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a:



a) i

b) -i + 1

c) i - 1

d) i + 1

e) -i



RESPOSTA: C



03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)4 é um número real?



a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) infinitos



RESPOSTA: C



04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i-100 é:



a) zero

b) i

c) -i

d) 1

e) -1



RESPOSTA: A



05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )-2 é igual a:



a) 1

b) -i

c) 2i

d) -i/2

e) i/2



RESPOSTA: E



06. A potência (1 - i )16 equivale a:



a) 8

b) 16 - 4i

c) 16 - 16i

d) 256 - 16i

e) 256



RESPOSTA: E



07. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z1 . z2|2 = 10 então x é igual a:



a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1



RESPOSTA: E



08. O módulo do complexo cos a - i . sen a é:



a) -1

b) -i

c) i

d) i4

e) i5



RESPOSTA: D



09. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.



RESOLUÇÃO: 3 - 2i; -3 + 2i



10. Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x8 - 17x4 + 16 = 0.



RESOLUÇÃO: V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}


extraido de colaweb.com

Números Complexos - Teoria Completa

Números Complexos

Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b²- 4ac) na resolução da equação do 2 grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R).A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C.

Números Complexos

Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:

z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.

Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:

z=(x,y)=x+yi

Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i ...
Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:

x=Re(z, parte real de z
y=Im(z), parte imaginária de z

Igualdade entre números complexos
Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z₁=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁=z₂<==> a=c e b=d

Adição de números complexos
Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁+z₂=(a+c) + (b+d)

Subtração de números complexos
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁-z₂=(a-c) + (b-d)

Potências de i
Se, por definição, temos que i = - (-1)^1/2, então:
i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = i².i = -1.i = -i
i⁴ = i².i²=-1.-1=1
i⁵ = i⁴. 1=1.i= i
i⁶ = i⁵. i =i.i=i²=-1
i⁷ = i⁶. i =(-1).i=-i ......

Observamos que no desenvolvimento de iⁿ (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos iⁿ basta calcularmos i^r onde r é o resto da divisão de n por 4.
Exemplo:
i⁶³ => 63 / 4 dá resto 3, logo i⁶³=i³=-i
Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z₁=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁.z₂ = a.c + adi + bci + bdi²
z₁.z₂= a.c + bdi² = adi + bci
z₁.z₂= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i²= -1

Conjugado de um número complexo
Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z^-) ==> z^-= a-bi
Exemplo:
z=3 - 5i ==> z^- = 3 + 5i
z = 7i ==> z^- = - 7i
z = 3 ==> z^- = 3
Divisão de números complexos
Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z₁= a + bi e z₂= c + di, temos que:
z₁ / z₂ = [z₁.z₂^-] / [z₂z₂^-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]
Módulo de um número complexo
Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a²+b²)^1/2, conhecido como ro
Interpretação geométrica
Como dissemos, no início, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo.Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneira

Forma polar dos números complexos
Da interpretação geométrica, temos que:

que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.
Operações na forma polar
Sejam z₁=ro₁(cos t₁₁)e z₂=ro₁(cos t₁+i sent₁). Então, temos que:
a)Multiplicação

Divisão

Potenciação

Radiciação
para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1

Exercícios Resolvidos

1 - Sejam os complexos z₁=(2x+1) + yi e z₂=-y + 2i
Determine x e y de modo que z₁ + z₂ = 0
Temos que:
z₁ + z₂ = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2

2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i²
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2

3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z^- = 11/58 - 13i/58

4 - Os módulos de z₁ = x + 20^1/2i e z₂= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x?
Então, |z₁= (x² + 20)^1/2 = |z₂ = [(x-2)² + 36}^1/2
Em decorrência,
x² + 20 = x² - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5

5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
Efetuando-se a divisão, temos:
z = [(1+i). -i] / -i² = (-i -i²) = 1 - i
Para a forma trigonométrica, temos que:
r = (1 + 1)^1/2 = 2^1/2
sen t = -1/2^1/2 = - 2^1/2 / 2
cos t = 1 / 2^1/2 = 2^1/2 / 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 2^1/2 ( cos 315 + i sen 315 )

#Números Complexos - Teoria.

O conjunto dos números complexos é representado por IC, e definido como o conjunto dos pares ordenados compostos por números reais, onde são definidas a adição e a multiplicação e a igualdade.

• Adição: ( a, b) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ).
• Multiplicação: ( a, b) . ( c, d ) = ( ac - bd, ad + bc ).
• Igualdade: ( a, b) = ( c, d ) , onde a = c, b = d.

Deve-se considerar que o conjunto IR está contido no conjunto IC. Sendo que, por exemplo, o número real a possui como parte complexa 0. Ele será o número complexo (a, 0).

Unidade imaginária é indicada pela letra i , sendo que seu valor é ( 0, 1),
onde se realizarmos i² teremos i.i = ( 0, 1). ( 0, 1) = ( 0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0 ) = (–1,0).
Assim temos a notação usual que i² = – 1. E que i = 

Tomando-se um número z = ( a, b), teremos que z = a + bi. Portanto se assim considerarmos termos que a é a partereal de z e b a parte complexa de z.

Para esta nova notação iremos definir as operações novamente de maneira mais usual.

• Adição: (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Multiplicação: (a + bi).( c + di) = ( ac – bd) + (ad + bc)i
• Igualdade: (a + bi) = ( c + di), onde a = c, b = d

Conjugado de um número complexo. ()
Se z = a + bi então  = a – bi

Teoremas conseqüentes desta definição:

Para a Divisão de números complexos devemos proceder de forma semelhante à racionalização.
Assim temos, z = a + bi ,  = a – bi e z₁ = c + di

Para calcularmos a razão entre z₁ e z devemos: 

Representação geométrica de um número complexo.

Sendo z = a + bi , |z| = 

Pela representação gráfica temos que 

Onde substituindo em z = a + bi encontraremos a forma trigonométrica de um número complexo.

Exemplo: z =  iremos representa-lo na forma trigonométrica.

Sendo que 
Onde 

Assim sua representação na forma trigonométrica é  .

#2 = 3

Vou provar que 2 é igual a três !! Partiremos da igualdade:
2-2 = 3-3
A diferença (2-2) pode ser escrita sob a forma de produto, 2(1-1). Da mesma forma (3-3) = 3(1-1).
Ora, então poderemos escrever: 
2(1-1) = 3(1-1)
Cancelando-se em ambos os membros dessa igualdade o fator comum (1-1), resulta que 
2 = 3

#Brincando com Lógica e Sofismas Engraçados.

Sofisma é um raciocínio aparentemente válido, mas inconclusivo, pois é contrário às próprias leis. Também são considerados sofismas os raciocínios que partem de premissas verdadeiras ou verossímeis, mas que são concluídos de uma forma inadmissível ou absurda. Por definição, o sofisma tem o objetivo de dissimular uma ilusão de verdade, apresentado-a sob esquemas que aparentam seguir as regras da lógica (mas, que nestes casos abaixo, não deixam de ser engraçados).

Sofisma 1:
Beber álcool mata os neurônios.
...os neurônios que morrem são os mais débeis.
...se morrem os mais débeis sobram os mais fortes e inteligentes.
Conclusão: quanto mais álcool bebo mais inteligente fico.

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Sofisma 2:
Quando bebemos álcool em excesso ficamos bêbados.
...quando estamos bêbados dormimos..
...enquanto dormimos não cometemos pecados.
...se não cometemos pecados vamos para o céu.
Conclusão: para ir para o céu devemos estar bêbados.

Sofisma 3:
Hoje em dia os trabalhadores não têm tempo para nada.
No entanto sabemos que os vadios têm todo o tempo do mundo.
Tempo é dinheiro. Portanto os vadios têm mais dinheiro que os trabalhadores.
Conclusão: para ser rico não precisa trabalhar.

Sofisma 4:
Imagine uma fatia de queijo suíço todo cheio de buracos.
...quanto mais queijo mais buracos.
Cada buraco ocupa o lugar no qual deveria ter queijo
...portanto quanto mais buracos menos queijo.
...Quanto mais queijo, mais buracos e quanto mais buracos menos queijo.
Conclusão: quanto mais queijo menos queijo..

Sofisma 5:
Penso, logo existo..
As mulheres burras não pensam, portanto as mulheres burras não existem.
Meu amigo diz que não é gay porque sai com uma mulher inteligente.
Se uma mulher inteligente saísse com meu amigo seria uma burra.
Como mulheres burras não existem, meu amigo não sai com ninguém...
Conclusão: meu amigo é viado!!!

Sofisma 6:
Deus ajuda quem cedo madruga.
Quem madruga dorme a tarde.
Quem dorme a tarde não dorme a noite.
Quem não dorme a noite sai para a balada.
Conclusão: Deus ajuda os baladeiros.

Sofisma 7:
Deus é amor.
O amor é cego.
Stevie Wonder é cego.
Conclusão: Stevie Wonder é Deus!

Sofisma 8:
Sempre me dizem que sou um joão ninguém.
Ninguém é perfeito.
Então, eu sou perfeito.
Mas só Deus é perfeito.
Ou seja, eu sou Deus..
Uhmmm... se Stevie Wonder é Deus.
Eu sou Stevie Wonder!
Puxa vida... sou cego!!!

#20 Questões - Análise Combinatória.

Matemática – Prof. Mauro

Análise Combinatória

1)    Cinco times de futebol (Cruzeiro, Fluminense, Flamengo, São Paulo e Santos)  disputam  um torneio de futebol. Quantas são as possibilidades de classificação para os dois primeiros lugares? R. 20.

2)    Lança-se uma moeda 4 vezes consecutivas. Quantas seqüências de resultados são possíveis? R. 16. 

3)    Considere os algarismos 1,3 e 5.

a)     Quantos números de três algarismos distintos é possível formar com esses algarismos? R. 6.

b)    Quantos números de três algarismos é possível formar com esses números? R. 27.

4)    Mariana gosta de 5 sabores de sorvete (abacaxi, coco, limão, chocolate e graviola). Quantas possibilidades ela tem para escolher duas bolas entre os cinco sabores, sabendo que:

a)     as duas bolas são do mesmo sabor? R. 5

b)    As duas bolas são de sabores diferentes e não importa a ordem em que são colocadas na casquinha? R. 10.

c)     As duas bolas são de sabores diferentes e importa a ordem em que são colocadas na casquinha? R. 20

5)    André tem 2 bermudas (cinza e preta) e 4 camisetas (branca, verde, amarela e roxa). De quantas maneiras diferentes ele poderá se vestir usando uma bermuda e uma camiseta? R. 8.

6)    Na eleição de uma escola há três candidatos a presidente, cinco a vice-presidente, seis a secretário e sete a tesoureiro. Quantos podem ser os resultados dessa eleição? R. 630.

7)    No sistema de numeração decimal, quantos números de três algarismos são formados sem repetição de algarismos? R. 648.

8)    Oito cavalos disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para os 3 primeiros lugares? R. 336.

9)    Quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos 3,4,7,8 e 9? R. 360.

10)  Usando-se 5 dos algarismos 1,2,3,4,5,6 e 7, sem repeti-los, quantos números pares podemos formar? R. 1.080.

11)  Um automóvel comporta dois lugares no banco da frente e três atrás. Quantas alternativas distintas há para lotar o automóvel – escolhendo cinco entre sete pessoas determinadas-, de modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar no banco da frente? R. 1800.

12)  Num programa de rádio transmitido diariamente a emissora sempre toca as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Quantos anos serão necessários para esgotar todas as seqüências dessas músicas? (considerar o ano com 365 dias). R. 99.

13)  Quantos números de 5 algarismos distintos formamos com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9? R. 15.120.

14)  Quantos números de 3 algarismos, sem repetição, podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9, incluindo sempre o algarismos 4? R. 168.

15)  Considere a palavra FELINO.

a)     Quantos são os anagramas dessa palavra? R. 720.

b)    Quantos começam com a letra N? R. 120.

c)     Quantos terminam com vogal? R. 360.

d)    Quantos apresentam as letras ELI juntas e nessa ordem? R. 24.

e)     Quantos apresentam as letras ELI juntas e em qualquer ordem? R. 144.

16) Cinco homens e uma mulher estão em uma sala de espera, onde há apenas um banco de cinco lugares. De quantas maneiras diferentes os homens podem se sentar, nunca deixando em pé a mulher? R. 600.

17)  De quantas maneiras é possível escalar um time de futebol de salão dispondo de 8 jogadores, considerando que saibam jogar na linha ou no gol? R. 56.

18)  Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes, poder ser feitas? R. 210.

19)  Numa sala temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos de 2 rapazes e 3 moças podemos formar? R. 200.

20)  Quantas equipes de Basquete podemos formar a partir de um grupo de 7 atletas? R. 21.

ANÁLISE COMBINATÓRIA - 1ª Parte.

C. E.M. 3 —  Matemática — Prof. Mauro  -  ANÁLISE COMBINATORIA

Exercícios lª parte
1) Calcule:
a) 6!+3!                   b) 9!   c)       4!-5!
        5!                         7!                 3!
2) Simplifique as expressões:
a) (n+1)!                 b) (2n+l)!       c) (n-1)!                  D)         n!  

      n!                          (2n-1)!             n!                                        (n-1)!     

3) Resolva as equações:
a) x! = 15(x-1)!        b) (n-2)!=2(n-4)!      c) (n-2)! = 720         d) (n-9)! = 1
4) Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8,9?
5) Quantas palavras de 3 letras, sem repetição, podemos formar com as 9 primeiras letras do nosso alfabeto?
6) Quantas comissões constituídas de 3 pessoas podem ser formadas a partir de um grupo de 5 pessoas?
7) Quantos anagramas existem das palavras: a) REI     b) JUIZ     c) MULHER?
8) Quantas equipes diferentes de Voley podemos formar a partir de um grupo de 10 atletas?