Introdução ao Estudo de Matemática Comercial e
Financeira
Prof. Mauro Cinosi
Números Proporcionais
Médias
Regra de Sociedade
Regra de Três
Porcentagens
Juros Simples
Juros Compostos
Números
Proporcionais
Proporções – O resultado da comparação entre duas grandezas
recebe o nome de razão: ¾ ou 3:4
Se 16/8 = 2 e 10/5 = 2, podemos dizer ambas frações formam
um proporção, isto é:
16/8 = 10/5
Dada uma proporção: a/b = c/d diz-se que d é a quarta
proporcional.
Os extremos da proporção são 16 e 5 e os meios são 8 e 10.
Daí tiramos a propriedade fundamental da proporção: o
produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Ou seja, na proporção dada
temos: 16x5 = 8x10.
Exercícios: Calcular x nas proporções:
1) x/8 = 15/5 2) x/6 = 8/12 3) 0,75/0,25=1,5/x
4) 12/6 = x/4 5) 24/6 = x/4 6) 0,8:1,2 :: x:0,75
Resp.: 1) 24; 2) 4; 3) 0,5
4) 8; 5) 16; 6) 0,5
Médias
Média
Aritmética de n números é o quociente da divisão da soma desses números por n.
Ex. Achar a
média aritmética dos números 5, 7 e 9.
Ma = 5+7+9 = 21 = 7
3 3
Exercícios:
Calcular a média aritmética dos números:
9, 11, 20 e 10 3)
3,4; 4,6 e 5,8
7/8, 5/6, 3/3 e ½ 4) 2 1, 7 e 1,25
2 8
5) Mistura-se a mesma quantidade
de vinho de R$ 62,00, R$ 45,00 e de R$ 37,00 o quinto. Por
quanto se deve
vender cada quinto da mistura?
Significado
de Quinto: Quinto também pode significar uma medida de capacidade,
correspondente á cerca de 80 litros. Exemplo do uso da palavra Quinto: O quinto é normalmente
usado por produtores de vinho.
Resp.: 1) 12,5; 2) 12,8; 3) 4,6
4) 47/24; 5) R$ 48,00.
Média Aritmética Ponderada
Ao tirarmos
uma média aritmética de várias quantidades, devemos levar em consideração
certas
circunstâncias que influem nos valores dessas quantidades. Para
calcularmos a média ponderada,
multiplicamos os números pelos respectivos pesos
e dividimos a soma desses produtos pela soma dos pesos.
Ex. Calcular a
média ponderada dos números 15, 20 e 32, atribuindo-lhes respectivamente os
pesos 4, 3 e 2.
Mp = 15x4+20x3+32x2
= 60+60+64 = 184 = 20,44
4+3+2 9 9
Exercícios:
Qual será
a média ponderada dos números 3, 5, 4 e 2, atribuindo-lhes respectivamente os
pesos 1, 2, 3 e 4?
Resp.: 3,3
Achar a média ponderada dos números 47, 32, 28,
atribuindo-lhes respectivamente os pesos 4, 5 e 6.
Resp.: 34,4
Misturando-se 12 litros de vinho de US$ 0,25 com
38 litros de US$ 0,75 qual será o preço do litro da mistura?
Resp.: US$ 0,63
Achar a média ponderada dos números 40, 50, 60.
70 e 90, atribuindo-lhes respectivamente os pesos 1, 2, 3, 4 e 5.
Resp.: 70
Média Harmônica
Calculamos a média harmônica de n números a, b, c,
..., dividindo n pela soma dos inversos desses números.
Mh = n =
1
+ 1 + 1 ...
a b
c
Exemplo: Calcular a média harmônica dos números 2, 3 e
4.
Mh = n = 3 = 2,76
1
+ 1 + 1 13
2 3
4 12
Exercícios:
Calcular a média harmônica dos números:
4, 5, 6 e 6. Resp.: 5 5 2)
2/3, ¾ e 5/6 Resp.: 90/121
47
Média
Geométrica ou Proporcional
É igual a raiz quadrada do produto desses números.
A média geométrica entre 6 e 24 é Mg =
= 12
Exercícios: Achar o valor de x nas
proporções:
8/x = x/32 Resp.: 16 2)
x/7 = 37/x Resp.: 16,09 3)
0,3/x = x/1,2 Resp.: 0,6
Achar a média geométrica de 10 e 16,9. Resp.: 13
Grandezas Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais, ou
simplesmente proporcionais, quando aumentando ou diminuído o valor de uma delas
um certo número de vezes, o valor da outra também aumenta ou diminui esse mesmo
número de vezes.
Exemplo. Se 5m de seca custam R$ 100,00
15m custarão R$ 300,00 e 45m custarão R$
900,00.
Duas quantidades são inversamente proporcionais
quando, aumentando ou diminuindo o valor de uma delas de um certo número de
vezes, o valor da outra diminui ou aumenta desse mesmo número de vezes.
Assim, se 6 operários fazem um serviço em 18 dias, 3
operários o farão em 36 dias, 12 operários farão em 9 dias.
Divisão em
Partes Proporcionais
Dividir um número em partes proporcionais a outros
números dados, é procurar parcela desse número que sejam proporcionais aos
números dados, e que, somados, reproduzam o número.
Ex. Dividir 720 em partes proporcionais aos números 2,
3 e 4.
Some 2+3+4 = 9. Divida 720 por nove e se obtém 80
(fator de multiplicação). Multiplique 2 x 80 = 160; 3 x 80 = 240; e 4 x 80 =
320. Conferindo: 160 + 240 + 320 = 720.
Exercícios:
Dividir 540 em partes proporcionais aos números
1, 2 e 3. Resp.: 90, 180, 270.
Dividir 840 em partes proporcionais aos
números 2/3, ½, 5/6 Resp.: 280, 210 e 350
Dividir R$ 12,00 em partes proporcionais
aos números 3/5, 3/2 e 0,9 Resp.: R$
2,40; R$ 6,00 e R$ 3,60.
Um senhor deixa uma herança de R$
30.000.000,00 a ser repartida entre 3 filhos, proporcionalmente a suas idades,
que são: 3 anos, 4 anos e 5 anos. Quanto cada um herdará sabendo que a mãe falecera e os filhos herdaram a quantia
por cabeça na proporção de suas idades, conforme testamento?
Resp.: R$ 7.500.000,00, R$ 10.000.000,00
e R$ 12.500.000,00.
Na liquidação de uma falência apura-se um
ativo de R$ 24.000,00, e um passivo constituído pelas seguintes dívidas: a A,
R$ 16.000,00, a B, R$ 24.000,00 e a C, R$ 20.000,00. Quanto receberá cada um
dos credores? Resp.:
R$ 6.400,00; R$ 9.600,00 e R$ 8.000,00.
Dividir 6.500 em partes inversamente
proporcionais aos números 2, 3 e 4. Resp.:
3.000; 1.500 e 2.000
Dividir 927.200 em partes inversamente
proporcionais aos números 2/3, 4/5 e ½.
Resp.:
292.800; 244.000 e 390.400.
Dividir 353.532 em partes inversamente
proporcionais aos números 2, 7/4, ¾ e 1,3.
Resp.: 55.692; 63.648; 148.512 e 85.680.
Regra
de Sociedade
É justo que em uma sociedade os lucros e
prejuízos sejam distribuídos entre os vários sócios, proporcionalmente aos
capitais empregados e ao tempo durante o qual estiveram empregados na
constituição dessa sociedade. Ela poderá ser simples ou composta.
Regra
de Sociedade Simples
Quando os capitais são diferentes e os tempos
iguais, os lucros ou os prejuízos serão proporcionais aos capitais. Confira no
exemplo:
Exemplo: Duas pessoas formam uma sociedade e lucraram R$
25.000,00. O primeiro entrou com R$ 70.000,00 e o segundo com R$ 55.000,00.
Qual foi o lucro de cada um?
25.000 = 25.000 = 0,2 {
x = 0,2 x 70.000 = 14.000
7.000 + 5.500
12.500 {y = 0,2 x
55.000 = 11.000
Quando os capitais são iguais e os tempos
diferentes, dividem-se os lucros ou os prejuízos em partes proporcionais aos
tempos. Veja o exemplo:
Exemplo: Ana, Beto e Carla associaram-se, entrando cada um
com o capital de R$ 15.000,00 e tiveram um prejuízo de R$ 750,00. Ana ficou na
sociedade 8 meses; Beto 7 meses e Carla 10 meses. Qual foi o prejuízo de cada
um?
Somando-se os meses temos 8+7+10 = 25. Dividindo o prejuízo
de 750 por 25 temos o fator igual a 30.
Multiplicando-se esse fator pelo o tempo que cada um ficou
na sociedade teremos as parcelas de prejuízo suportadas por cada um dos sócios.
Assim: 8x 30 = 240 cabe a Ana; 7 x 30 = 210 cabe a Beto e 10 x 30 = 300 cabe a
Carla.
Regra de Sociedade
Composta
Quando os capitais e os tempos forem diferentes, os lucros ou os prejuízos serão proporcionais
aos capitais multiplicados pelos tempos respectivos.
Exemplo: Três
sócios lucram juntamente R$ 21.500,00. O primeiro entrou com R$ 7.000,00
durante 1 ano; o segundo com R$ 8.500,00 durante 8 meses e o terceiro com R$ 9.000,00
durante 7 meses. Qual foi o lucro de cada um?
Dividindo os 21.500 em partes proporcionais aos
produtos dos capitais pelos tempos respectivos temos:
7.000x12 = 84.000
8.500x8 = 68.000
9.000x7 = 63.000
Quando os
parâmetros não são primos entre si, podemos simplificá-los, dividindo-os pelo
MDC, o que traz grande vantagem para o cálculo. Logo, dividindo todos por
1.000, ficam os parâmetros 84, 68, e 63. Que somados dão o total de 215.
Dividindo o lucro de 21.500 pelos 215 temos como
resultado 100. Multiplicando-se esse valor pelos três parâmetros teremos os
lucros de cada: 8.400, 6.800 e 6.300.
Exercícios:
Dois sócios lucraram R$ 2.760,00. O primeiro
entrou para a sociedade com R$ 1.800,00 e o segundo com R$ 2.100,00. Qual o
lucro de cada sócio?
Resp.: R$ 1.273,00 e R$
1.486,00.
Três pessoas formaram uma sociedade com o
capital de R$ 2.000,00 e lucraram R$ 800,00. Calcular a entrada de cada sócio,
sabendo que ao primeiro coube R$ 240,00; ao segundo R$ 360,00 e ao terceiro
R$200,00. Resp.:
R$ 600,00; R$ 900,00 e R$ 500,00
Três homens compraram um terreno de 5.400
m². Qual é a porção de cada um se o primeiro entrou com R$ 80.000,00, o segundo
com R$ 100.000,00 e o terceiro com R$ 120.000,00?
Resp.: 1.440 m²; 1.800 m² e 2.160m².
Regra
de Três Simples
Constituem regra de três os problemas que
envolvem pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais. Sendo regra
de três simples direta e regra três simples inversa. Envolvem dois pares de
grandezas direta ou inversamente proporcionais.
Exemplo 1 – Comprei 36 kg de café por R$
2.100,00. Quantos kg compraria com R$ 3.150,00?
Kg preço É
direta porque com mais dinheiro comparemos mais café.
36
2100 36=
2100 x = 36x3150 = 54
X 3150 x 3150
2100
Exemplo 2 – Com a velocidade de 75 km/h
um automóvel percorre, em 8 horas, certo percurso. Em quanto tempo ele
percorreria se a velocidade fosse 60 km/h?
A 75 km/h demora 8h
A 60 km/h demora x É inversa pois diminuindo a
velocidade aumenta-se o tempo gasto.
Km h
75 8 60
= 8 x = 75x8 = 10
horas
60 x 75 x 60
Regra de Três Composta
Quando
existem mais de dois pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais.
Ex.
20 operários em 10 dias de 8 horas, tecem 16.000m de certo tecido. Quantos dias
de 10 horas seriam necessários para 16 operários, cuja atividade é o dobro da dos primeiros , tecerem 32.000m
de outra fazenda, cuja dificuldade são
os 4/5 da primeira?
Listamos
os dados conforme o problema os apresenta, tendo o cuidado de colocar as
grandezas de mesma natureza uma debaixo
da outra.
op. 10d 8h 16.000m 1
at. 1
dif.
16 op. Xd 10h 32.000m 2 at. 4/5
dif.
inversa inversa direta inversa direta
Relacionando
cada par de grandezas com 10/x, teremos cinco problemas de regra de três
simples que se encadeiam assim:
10
= 16 x 10 x 16.000 x 2 x 1 ↔ 10
= 5 ↔ x = 8
X 20
x 8 x 32.000 x 1 x 4/5 x 4 Resp. 8 dias
Exercícios.
5 rapazes ganharam R$ 6.800,00. Quanto ganhariam
28 rapazes: Resp. R$ 38.080,00
20 operários fazem um trabalho em 18 dias;
quantos operários seriam necessários para fazer o mesmo serviço em 12 dias? Resp.
30.
Um trem percorre certa distância em 8 horas, com
a velocidade de 60 km por hora. Quanto
tempo levaria para fazer o mesmo percurso com a velocidade de 50 km por hora? Resp. 9h 36min.
Um navio tem víveres para uma viagem de 15 dias.
Devido a uma acidente qualquer, logo no início da viagem, esta tem de ser
retardada de 5 dias. A quanto tem de ser reduzida a ração de cada tripulante?
Resp.
Tem de ser reduzida a ¾.
1 Libra vale R$ 3,80. Qual será o valor de 52,15
Libras. Resp. R$ 198,17
5 operários fazem um serviço em 8 dias. Se se
contratassem mais 3 operários, em quantos dias ficaria pronto o serviço? Resp.
5 dias.
Em cada 100 alunos foram reprovados 25. Em uma
classe de 48 alunos, qual foi o número de reprovados?
Resp. 12
Uma torneira enche um tanque em 3 horas, outra o
vazaria em 4 horas. Abertas as duas torneiras, em quanto tempo ficaria o tanque
cheio? Resp.
12 horas.
15 operários , em 9 dias de 8 horas, ganham R$
10.800,00. Quanto ganhariam 23 operários em 12 dias de 6 horas? Resp.
R$ 16.560,00
5 homens, em 8 dias, ganham R$ 4.800,00. Quantos
dias seriam necessários para 9 homens ganharem R$ 23.760,00? Resp.
22 dias.
14 operários, trabalhando 10 dias de 8 horas,
fazem 56.000m de certo tecido. Quantos dias de 6 horas serão necessários a 9
operários para fazerem 32.400m do mesmo tecido? Resp. 12 dias.
Um viajante quer fazer em 8 dias o trajeto já
feito em 12 dias de 10 horas. Quantas horas deverá andar por dia, se aumentou
de 2/5 a sua velocidade? Resp. 10h 42min 51
segundos.
18 operários, em 24 dias, fizeram 3.240 m de
pano. Quantos dias levarão 20 operários para fazerem 2.040m, se os primeiros
são 3 vezes mais ativos que os segundos? Resp.
40,8 dias
Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer
1.000m de um tecido. Quantos dias de 6 horas levaria para fazer 2.000m de outro
tecido que apresenta dificuldade igual a
¾ da primeira? Resp 20 dias.
Porcentagens
Chama-se porcentagem ou percentagem à
porção de um da do valor, que se determina sabendo-se o quanto corresponde a
cada 100. Quando dizemos quinze por cento de um certo valor, queremos dizer que
em cada 100 partes desse valor tomamos 15 partes.
A expressão quinze por ceto, que se
representa por 15%, chama-se taxa de porcentagem. Uma fração, pois, expressa
com o denominador 100 seria uma porcentagem; e o seu numerador é a taxa de
porcentagem.
Assim , na razão 8/100 a taxa de
porcentagem é 8. Escreve-se 8%, e lê-se oito por cento.
Calcular 8% de R$ 1.200,00. Formamos uma
regra de três simples.
100 8 100:1.200::
8:x ↔ x = 1.200x8 = 96
1.200 x 100 Resp. R$ 96,00
Fórmula Para obter as fórmulas
resolvemos o seguinte problema literal.
Calcular a porcentagem p, à taxa i,
sobre a quantia P(principal).
Cálculo da porcentagem p = Pi
Cálculo do principal P = p
I
Cálculo da taxa i = p
P
Aplicações: 1) Um negociante compra R$
25.000,00 de mercadorias e quer lucrar 30%. Calcular o lucro desse negociante.
p = Pi = 25000x0,30 = 7500 Resp. R$ 7.500,00
2) Um negociante vendeu mercadorias com
um lucro de R$ 3.900,00, correspondente a 30% do valor das mesmas. Quanto lhe
custaram as mercadorias?
P = p = 3900 = 13000 Resp. R$ 13.000,00
i 0,3
3)
Comprei um relógio por R$ 320,00 e o vendi com um lucro de R$ 40,00. De
quanto por cento sobre o preço de custo foi o meu lucro? Resp.
12,5%
Exercícios
Calcular a)8% de 432 b) 7 3% de 935 c)
6% de 18 d)9% de 0,847 e) 5%o de 487 f)
2/3% de 12.
4
Resp.
34,56; 72.462.5; 1.08; 0,076.23; 2,435 e
0,08
Quantos por cento serão a) 17 de 340; b) 30 de
120; c) 16 de 20; d) 40 de 200; e) 20 de 100; f) 5 de 80.
Resp.
5%, 25%, 80%, 20%, 20% e 6,25%.
Calcular os números cujos:a ) 5% são 30; b) 8,5%
são 68; c) ½% são 40; d)8% são 36; e) 10% são 42; f) 3% são 1,728.
Resp.
600, 800, 8.000, 450, 420 e 57,6
Um vendedor trabalha nas seguintes condições:
ganhar 5% sobre os lucros das vendas realizadas. Quanto ganhou ele em um mês em
que as vendas atingiram R$ 45.000,00, dando um lucro de 30%? Resp. R$ 675,00.
Calcular o principal, quando corresponde: a) 5%
a 40? b) 6% a 54? c) 8,5% a 85?
d) 7% de 56? e) 3%o a 36?
f) 4%o
a 50? Resp. 800; 900; 1.000; 800; 12.000; e 12.500
Um vendedor é contratado na seguintes condições:
ganhar 3% sobre os 30% de lucros auferidos pela empresa, na venda de suas
mercadorias. Qual será seu ordenado em um mês em que vendeu R$ 40.000,00?
Resp. 360,00
Um negociante vendeu mercadorias compradas a R$
2.000,00 por R$ 2.500,00. De quanto por cento foi seu lucro sobre o preço de
compra e sobre o preço de venda? Resp.
25% e 20%.
Calcular o abatimento que se faz sobre a venda
de R$ 250,00 de pneu, quando se concede um desconto de 20% e mais 5%. Resp.
R$ 60,00
Em uma cidade , 35% dos habitantes são homens, e
os restantes 26.000, mulheres. Qual a
população da cidade? Resp.
40.000
20% dos alunos de uma classe de 40 foram
reprovados. Quantos foram promovidos? Resp.
32
Sobre uma fatura de R$ 180,00 tive um abatimento
de 30%. Quanto paguei? Resp R$ 126,00
Juros
Simples
Ao emprestarmos certa quantia a uma
pessoa, é justo recebermos com a quantia emprestada mais outra quantia que
representa o aluguel pago pelo empréstimo. A quantia emprestada representa o
capital, o aluguel os juros.
Logo, juro é o prêmio que se paga por um
capital emprestado.
Assim se uma pessoa empresta a outra a
quantia de R$ 100,00 e no final de um ano recebe além da quantia emprestada
mais R$ 12,00, como prêmio desse empréstimo, diremos que esses R$ 12,00
representam o juro do capital emprestado. Observamos que R$ 12,00 corresponde a
12% de ser valor em um ano.
Deste modo, o juro produzido na unidade
de tempo chama taxa de juro.
Utilizando uma regra de três para calcular os juros do capital C, à taxa
i, no tempo t, temos a fórmula:
J = Cit, se o tempo for expresso em anos
utiliza-se t, se for em meses t/12 e se
for em dias t/360.
Aplicações
Calcular os juros de R$ 5.200,00 a 6% a.a. em 4
anos.
J = Cit = 5200x0,06x4 = 1248 Resp R$ 1.248,00
Qual o tempo necessário para R$ 6.000,00, a 5%
a.a, renderem R$ 900,00 de juros?
J = Cit
↔ t = J = 900 = 3 Resp 3 anos
Ci 6000 x 0,05
A que taxa devemos colocar o capital de R$
10.000,00 para , em 2 anos, 6 meses e 10 dias termos o total de R$ 1.137,50 de
juros?
2a
6m e 10d = 910 dias
J = Cit
↔ i = J = 360x1137,5=
0,045 = 4,5% Resp 4,5% a.a.
Ct 10000x610
Montante
- Em certos problemas de juros simples, aparece o capital somado
com os juros. A essa soma de capital e juros, damos o nome de montante.
Portanto M = C + J.
Substituindo a fórmula de juros na de
montante obtemos M = C( 1 + it) e J = Mit
1+ it
Aplicações:
Coloquei uma certa quantia em um banco, a 5%
a.a. e recebi R$96,00 depois de 4 anos. Calcular os juros.
J
= Mit = 96x0,05x4 = 19,2
= 16 { i = 5
= 0,05 Resp R$ 16,00
1+ it 1+0,05x4 1,2 100
Emprestei uma certa quantia a 8% a.a. e recebi
R$ 60,00, depois de 2a 6m.Qual foi a quantia emprestada? 2a e 6m = 30 meses
M
= C( 1 + it) C = M = 60 = 60 = 50 Resp R$ 50,00
( 1 + it)
1+0,08x30/12 1,2
Exercícios
Calcular os juros anuais de R$ 100,00 a 6% a.a. Resp R$ 6,00
Calcular os juros mensal de R$ 8.000,00 à taxa
de 10% a.a.. Resp R$ 66,67
Calcular o juro anual de R$ 50,00 a 3/4 %
mensais. Resp R$ 4,50
Calcular o juro mensal de R$ 60,00 a 5/6%
mensais. Resp
R$ 0,50
Qual é o rendimento de R$ 600,00 a 5% a.a. , em
2 a 6m Resp R$ 75,00
R$ 28,80 renderam durante um certo tempo R$ 6,00
à taxa de 5% a.a. determinar esse tempo. Resp.
4a e 2m.
Calcular os juros de R$ 14.400,00 à taxa de 6%
a.a, de 16 de março a 3 de agosto do mesmo ano. (ano civil = 365 dias, se o ano
for bissexto conta-se 366 dias) Resp
R$ 336,00
Quais os juros de R$ 122,00 à taxa de 8% a.a.,
de 10 de janeiro a 9 de maio (ano civil e bissexto). Resp R$ 3,20.
Qual o capital que, à taxa de 9% a.a, produz R$
10,80 em 2 anos? Resp R$ 60,00
Qual o capital que a 4% a.a., em 40 dias produz
o montante de R$ 72,32? Resp R$
72,00
