Números Complexos exercícios e teoria

números complexos exercícios e teoria

Artigo sobre números complexos com exercícios e teoria: propriedades do conjugado, operações, conjugado e potência de um número complexo.

PROPRIEDADES

Definição: O conjugado de um complexo 
Ex: 

Propriedade 1: A soma de 2 complexos conjugados é sempre um número real.

Propriedade 2: O produto de 2 complexos conjugados é sempre um número positivo.

Propriedade 3: O conjugado do conjugado , de um complexo, é o próprio complexo.

  
Propriedade 4: O conjugado da soma, é igual a soma dos conjugados.

Propriedade 5: O conjugado do produto, é igual ao produto dos conjugados.

Adição e subtração

A forma algébrica a + bi admite todas as operações, assim como em R, substituindo i² por -1, sempre que necessário. 

Dado os números z1 = 3 – i e z2 = -5 + 4i. Somando os dois teremos:

z1 + z2 = (3– i) + (-5 + 4i)
z1 + z2 = 3- i – 5 + 4i
z1 + z2 = 3 – 5 – i + 4i
z1 + z2 = - 2 + 3i

Dado os números z1 =(5 + 8i) e z2= (1 + 2i). Subtraindo os dois teremos:

z1 - z2 =  (5 – 8i) - (1 + 2i)

z1 - z2 = 5 - 1 - 8i - 2i

z1 - z2 = 4 + 6i

Podemos concluir que para subtrair ou adicionar números complexos devemos operar parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária. 

Multiplicação de números complexos

Os números complexos são multiplicados com base na propriedade distributiva, sempre lembrando que um numeral complexo é formado por uma parte real e uma imaginária.

Como sabemos, i² = – 1.

Logo,



Agrupando os termos semelhantes, obtemos:

Exemplos:

    

a) (4 + 3i) * (2 + 6i)                                                       b) (1+2i)∙(2-3i) = [1∙2 - 2∙(-3)] + [1∙(-3) + 2∙2]i
                                                                                      (1+2i)∙(2-3i) = (2+6) + (-3+4)i = 8 + i

8 + 24i + 6i + 18i² (lembrando que i² = – 1)
8 + 24i + 6i + 18 * (–1)
8 + 24i + 6i – 18
–10 + 30i

Divisão de números Complexos

Para realizar a divisão de dois números complexos precisamos introduzir o conceito de conjugado de um número complexo. Seja z = a + bi, o conjugado de z é z = a - bi. Agora podemos definir a operação de divisão para números complexos.

Agora vejamos este exemplo de divisão:

Para começar vamos multiplicar o divisor e o dividendo pelo conjugado do divisor como explicado acima:

  

Para realizar o produto no denominador vamos recorrer aos produtos notáveis, mais especificamente ao produto da soma pela diferença de dois termos, onde temos que:

Continuando o processo da divisão temos:

Note que inicialmente tínhamos o divisor imaginário 2 - 7i e no final temos o divisor real 53. É por isto que utilizamos o conjugado como expediente para realizar a divisão, assim conseguimos transformar um divisor imaginário em um divisor real, o que facilita muito as coisas, como pudemos ver na passagem do penúltimo para o último passo.

vamos ver outro exemplo:

Conjugado de um Número Complexo

Chamamos de conjugado do número complexo

z = a + bi, com a e b reais, o número complexo

 = a – bi.

Exemplos

1^o) z₁ = 2 – 3i   = 2 + 3i

2^o) z₂ = –1 – 4i   = –1 + 4i

3^o) z₃ = –3i   = 3i

4^o) z₄ = 2   = 2

Propriedade

O produto de um número complexo pelo seu conjugado é sempre um número real.

Demonstração

Sendo z = a + bi e  = a – bi (a  R e b  R) temos:

Como a e b são reais, z ·   R.

Potência de números complexos

 O cálculo de potências de números reais com expoente natural é realizado através de uma multiplicação em que todos os fatores são iguais à base e em quantidade igual ao expoente natural.

Veja que a potência abaixo é o resultado de uma multiplicação com 3 fatores iguais a 5:



Esta outra potência é resultado de uma multiplicação contendo 4 fatores iguais a 7:



No caso de potências de números complexos com expoente natural o procedimento é o mesmo:

Sabemos que:

Observe que na potência de i com expoente 4 os valores começam a se repetir e o mesmo acontece nas potências com expoentes 8 e 12, caracterizando um padrão de repetição no cálculo dessas potências. Como os valores se repetem a cada quatro potências calculadas, ou seja, de 4 em 4, podemos obter o valor de qualquer potência de i utilizando o seguinte método:

Por exemplo, se desejamos calcular o valor de i¹²⁵.

Faremos a divisão de 125 por 4:

Calcular o valor de i¹²⁵ é o mesmo que calcular o valor de i elevado ao resto da divisão de 125 por 4, ou seja, é o mesmo que calcular i¹.

Assim,

i¹²⁵ = i¹ = i

 exemplo 2:

Aplicando as propriedades da potência, calcule (2 – 2i)6.

Podemos fatorar o expoente da seguinte forma:

[(2 – 2i)2]3 =
[22 – 2 * 2 * (2i) + (2i)2]3
[4 – 8i + 4i2]3 =
[4 – 8i + 4 * (–1)]3 =
[4 – 8i – 4]3 =
[– 8i]3 =
– 512 * i3 =
– 512 * (– i) =
+ 512i
exemplo 3:

Calcular  i³⁵⁹

 

Exercícios números complexos

1)  (PUC-MG) Qualo é o quociente de (8 + i)/(2 - i) é igual a

  a) 1 + 2i                  b) 2 + i                      c) 2 + 2i                  d) 2 + 3i               e) 3 + 2i

2) Sendo z = 5i + 3i² - 2i³ + 4i²⁷ e w = 2i¹² - 3i¹⁵ , calcule Im(z).w + Im(w).z .

a) -3 + 18i                 b) -3 + 10i                c) - 5 + 18i                d) - 5 + 10 i           e) -3 + 12i

3) (Mackenzie-SP) O valor da expressão y = i + i² + i³ + ... + i¹⁰⁰¹ é:
a) i²                         b) i                           c) i³                         d) i² + 1                 e) i +1

4) (UCSal) Para que o produto (a + i).(3 - 2i) seja real, a deve ser:
a) 2/3                       b) 4/3                       c) 3/2                      d) 3/4                    e) 3/5

5) (FESP/UPE) - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z⁸ é igual a:
a) 16                     b) 161                      c) 32                      d) 32i                    e) 32 + 16i

6) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x¹⁰ + a = 0 , então calcule o valor de a.
a) 16i                    b) 32i                       c) 40i                  d) 48i                         e) 60i

7) ( UFRGS) (1 + i)15 é igual a:
a) 64(1 + i)             b) 128(1 – i)             c) 128(–1 – i)           d) 256(–1 + i)       e) 256(1 + i)

8) Dados os números  complexos z1= a + bi e z2 = 1 - 2i. Como z1.z2 = 15, então z1 + z2 é 

igual a:

a) 8                            b) 4                        c) 4+4i                          d) 6+i                   e) 8 - 2i

9) (UCMG-MG) O número complexo z, tal que 5z +  = 12 + 16i, é igual a:

a) – 2 + 2i                   b) 2 + 4i                  c) 2 – 3i                        d) 3 + i                    e) 1 + 2i

10) (FCC-BA) O número complexo 1 – i é raiz da equação x² + kx + t = 0 (k, t  R ) se, e somente se:

 a) k = t = – 2            b) k = 2 e t = – 2            c) k = t = 2              d) k + t = 1                 e) k = –2 e t = 2

11) (UFES) O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i , é

a)-3i                       b)1-i                   c) 5/2 + (5/2)i                d) 5/2 - (3/2)i             e) 1/2 - (3/2)i

12) (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i² = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)⁴ é um número real?
a) 1                        b) 2                        c) 3                       d) 4                      e) 5

13) (UEFS) Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:

a) 1 e 10                 b) 5 e 10                 c) 7 e 9                        d) 5 e 9               e) 0 e -9

14) (UEFS) O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i, é:

a) -3i                  b) 1 – i                c) 5/2 + (5/2)i                       d) 5/2 - (3/2)i                  e) ½ - (3/2)i

15) (Unitau) O módulo de z=1/i36 é:

a) 3.                        b) 1.                  c) 2             d) 1/36.           e) 36.

16) O número complexo 2 + i é raiz do polinômio P(x) = x³ + ax² + bx +15, em que a e b são números reais. Pede-se determinar os valores de a e b e, em seguida, calcular P(i) / (3+i) na forma c + di , sendo c e d números reais.

Solução:

Ora, se x = 2 + i é raiz de P(x), então:
(2 + i)³ + a(2 + i)² + b(2 + i) + 15 = 0

Desenvolvendo, vem:
2³ + 3.2².i + 3.2.i² + i³ + a(2² + 2.2.i + i²) + b(2 + i) + 15 = 0
8 + 12i - 6 - i + a(4 + 4i -1) + 2b + bi + 15 = 0
8 + 12i - 6 - i + 4 a + 4ai - a + 2b + bi + 15 = 0

Simplificando e ordenando, vem:
(8 - 6 + 4 a - a + 2b + 15) + (12 - 1 + 4 a + b) i = 0
(17 + 3 a + 2b) + (11 + 4 a + b) i = 0 + 0i

Daí, vem:
17 + 3 a + 2b = 0
11 + 4 a +b = 0

Ou,
3 a + 2b = - 17
4 a + b = - 11

Para resolver o sistema de equações acima, multiplicaremos a primeira equação por 4 e a segunda por - 3:
Teremos:
12 a + 8b = - 68
-12 a - 3b = 33

Somando membro a membro - para eliminar a incógnita a - vem:
5b = - 35, de onde conclui-se b = -7.

Portanto, como 4 a + b = - 11, vem, substituindo: 4 a +(-7) = -11, de onde conclui-se:
a = - 1
Logo, a = -1 e b = - 7, responde à primeira parte do exercício.

Portanto, substituindo os valores de a e de b encontrados, o polinômio dado é igual a:
P(x) = x³ - x² - 7x + 15
Falta calcular P(i) / (3+i).
P(i) = i³ - (i)² - 7(i) + 15 = -i + 1 -7i + 15 = 16 - 8i

Portanto,

Números Complexos - Exercícios com gabarito de respostas

1 - Calcule o número complexo i¹²⁶ + i^-126 + i³¹ - i¹⁸⁰

2 - Sendo z = 5i + 3i² - 2i³ + 4i²⁷ e w = 2i¹² - 3i¹⁵ ,
calcule Im(z).w + Im(w).z .

3 - UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z +  = 12 + 6i é:

4 - UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser:

5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:

6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i² + i³ + ... + i¹⁰⁰¹ é:

7) Determine o número natural n tal que (2i)ⁿ + (1 + i)²ⁿ + 16i = 0.
Resp: 3
Clique aqui para ver a solução.

8) Calcule [(1+i)⁸⁰ + (1+i)⁸²] : i⁹⁶.2⁴⁰Resp: 1+2i

9) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que z+w é um número real e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b² - 2a.
Resp: 50

10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x¹⁰ + a = 0 , então calcule o valor de a.
Resp: 32i

11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 . + 1 - i = 0.

12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x^-1 + x², para x = 1 - i , é:
a)-3i
b)1-i
c) 5/2 + (5/2)i
d) 5/2 - (3/2)i
e) ½ - (3/2)i

13 -UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i⁷ + i⁵ + ( i³ + 2i⁴ )² , obtêm-se:
a) -1+2i
b) 1+2i
c) 1 - 2i
d) 3 - 4i
e) 3 + 4i

14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10
b) 5 e 10
c) 7 e 9
d) 5 e 9
e) 0 e -9

15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö 13
b) Ö 7
c) 13
d) 7
e) 5

16 - FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z⁸ é igual a:
a) 16
b) 161
c) 32
d) 32i
e) 32+16i

17 - UCSal - Sabendo que (1+i)²² = 2i, então o valor da expressão
y = (1+i)⁴⁸ - (1+i)⁴⁹ é:
a) 1 + i
b) -1 + i
c) 2²⁴ . i
d) 2⁴⁸ . i
e) -2²⁴ . i

GABARITO:

1) -3 - i   
2) -3 + 18i  
3) 4 + 3i  
4) 3/2  
5) -2 + 18i  
6) i  
7) 3  
8) 1 + 2i 
9) 50  
10) 32i  
11) -1 - i
12) B   
13) D   
14) A   
15) A  
16) A   
17) E

Números Complexos - Exercícios resolvidos

Números Complexos - Exercícios resolvidos

01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:



a) 1 + 11i

b) 1 + 31i

c) 29 + 11i

d) 29 - 11i

e) 29 + 31i



RESPOSTA: C



02. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a:



a) i

b) -i + 1

c) i - 1

d) i + 1

e) -i



RESPOSTA: C



03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)4 é um número real?



a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) infinitos



RESPOSTA: C



04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i-100 é:



a) zero

b) i

c) -i

d) 1

e) -1



RESPOSTA: A



05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )-2 é igual a:



a) 1

b) -i

c) 2i

d) -i/2

e) i/2



RESPOSTA: E



06. A potência (1 - i )16 equivale a:



a) 8

b) 16 - 4i

c) 16 - 16i

d) 256 - 16i

e) 256



RESPOSTA: E



07. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z1 . z2|2 = 10 então x é igual a:



a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1



RESPOSTA: E



08. O módulo do complexo cos a - i . sen a é:



a) -1

b) -i

c) i

d) i4

e) i5



RESPOSTA: D



09. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.



RESOLUÇÃO: 3 - 2i; -3 + 2i



10. Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x8 - 17x4 + 16 = 0.



RESOLUÇÃO: V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}


extraido de colaweb.com

Números Complexos - Teoria Completa

Números Complexos

Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b²- 4ac) na resolução da equação do 2 grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R).A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C.

Números Complexos

Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:

z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.

Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:

z=(x,y)=x+yi

Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i ...
Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:

x=Re(z, parte real de z
y=Im(z), parte imaginária de z

Igualdade entre números complexos
Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z₁=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁=z₂<==> a=c e b=d

Adição de números complexos
Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁+z₂=(a+c) + (b+d)

Subtração de números complexos
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁-z₂=(a-c) + (b-d)

Potências de i
Se, por definição, temos que i = - (-1)^1/2, então:
i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = i².i = -1.i = -i
i⁴ = i².i²=-1.-1=1
i⁵ = i⁴. 1=1.i= i
i⁶ = i⁵. i =i.i=i²=-1
i⁷ = i⁶. i =(-1).i=-i ......

Observamos que no desenvolvimento de iⁿ (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos iⁿ basta calcularmos i^r onde r é o resto da divisão de n por 4.
Exemplo:
i⁶³ => 63 / 4 dá resto 3, logo i⁶³=i³=-i
Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z₁=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁.z₂ = a.c + adi + bci + bdi²
z₁.z₂= a.c + bdi² = adi + bci
z₁.z₂= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i²= -1

Conjugado de um número complexo
Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z^-) ==> z^-= a-bi
Exemplo:
z=3 - 5i ==> z^- = 3 + 5i
z = 7i ==> z^- = - 7i
z = 3 ==> z^- = 3
Divisão de números complexos
Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z₁= a + bi e z₂= c + di, temos que:
z₁ / z₂ = [z₁.z₂^-] / [z₂z₂^-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]
Módulo de um número complexo
Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a²+b²)^1/2, conhecido como ro
Interpretação geométrica
Como dissemos, no início, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo.Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneira

Forma polar dos números complexos
Da interpretação geométrica, temos que:

que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.
Operações na forma polar
Sejam z₁=ro₁(cos t₁₁)e z₂=ro₁(cos t₁+i sent₁). Então, temos que:
a)Multiplicação

Divisão

Potenciação

Radiciação
para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1

Exercícios Resolvidos

1 - Sejam os complexos z₁=(2x+1) + yi e z₂=-y + 2i
Determine x e y de modo que z₁ + z₂ = 0
Temos que:
z₁ + z₂ = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2

2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i²
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2

3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z^- = 11/58 - 13i/58

4 - Os módulos de z₁ = x + 20^1/2i e z₂= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x?
Então, |z₁= (x² + 20)^1/2 = |z₂ = [(x-2)² + 36}^1/2
Em decorrência,
x² + 20 = x² - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5

5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
Efetuando-se a divisão, temos:
z = [(1+i). -i] / -i² = (-i -i²) = 1 - i
Para a forma trigonométrica, temos que:
r = (1 + 1)^1/2 = 2^1/2
sen t = -1/2^1/2 = - 2^1/2 / 2
cos t = 1 / 2^1/2 = 2^1/2 / 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 2^1/2 ( cos 315 + i sen 315 )

#Números Complexos - Teoria.

O conjunto dos números complexos é representado por IC, e definido como o conjunto dos pares ordenados compostos por números reais, onde são definidas a adição e a multiplicação e a igualdade.

• Adição: ( a, b) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ).
• Multiplicação: ( a, b) . ( c, d ) = ( ac - bd, ad + bc ).
• Igualdade: ( a, b) = ( c, d ) , onde a = c, b = d.

Deve-se considerar que o conjunto IR está contido no conjunto IC. Sendo que, por exemplo, o número real a possui como parte complexa 0. Ele será o número complexo (a, 0).

Unidade imaginária é indicada pela letra i , sendo que seu valor é ( 0, 1),
onde se realizarmos i² teremos i.i = ( 0, 1). ( 0, 1) = ( 0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0 ) = (–1,0).
Assim temos a notação usual que i² = – 1. E que i = 

Tomando-se um número z = ( a, b), teremos que z = a + bi. Portanto se assim considerarmos termos que a é a partereal de z e b a parte complexa de z.

Para esta nova notação iremos definir as operações novamente de maneira mais usual.

• Adição: (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Multiplicação: (a + bi).( c + di) = ( ac – bd) + (ad + bc)i
• Igualdade: (a + bi) = ( c + di), onde a = c, b = d

Conjugado de um número complexo. ()
Se z = a + bi então  = a – bi

Teoremas conseqüentes desta definição:

Para a Divisão de números complexos devemos proceder de forma semelhante à racionalização.
Assim temos, z = a + bi ,  = a – bi e z₁ = c + di

Para calcularmos a razão entre z₁ e z devemos: 

Representação geométrica de um número complexo.

Sendo z = a + bi , |z| = 

Pela representação gráfica temos que 

Onde substituindo em z = a + bi encontraremos a forma trigonométrica de um número complexo.

Exemplo: z =  iremos representa-lo na forma trigonométrica.

Sendo que 
Onde 

Assim sua representação na forma trigonométrica é  .